Через сколько точек проходит прямая y = -1/3x + 4? Найдите точку пересечения прямых y = -5/6x + 2 и y = 3x - 1. Постройте следующие прямые используя только коэффициенты в уравнении прямой. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми y = 4x + 2; y = 2 - x; y = 46. При каком значении параметра a прямая y = (a-3)x - 4 проходит через точку (-4; -3).

12.1-3. Чтобы проверить, проходит ли прямая через точку, нужно подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение $y = -\frac{1}{3}x + 4$. $A(-2; 4\frac{1}{3})$: $-2 \cdot (-\frac{1}{3}) + 4 = \frac{2}{3} + 4 = 4\frac{2}{3} \neq 4\frac{1}{3}$ (Нет) $B(0; 4)$: $0 \cdot (-\frac{1}{3}) + 4 = 4$ (Да) $C(102; -30)$: $102 \cdot (-\frac{1}{3}) + 4 = -34 + 4 = -30$ (Да) $D(1; 3\frac{35}{9})$: $1 \cdot (-\frac{1}{3}) + 4 = 3\frac{2}{3} = 3\frac{6}{9} \neq 3\frac{35}{9}$ (Нет) $E(-1\frac{3}{4}; 4\frac{7}{12})$: $-\frac{7}{4} \cdot (-\frac{1}{3}) + 4 = \frac{7}{12} + 4 = 4\frac{7}{12}$ (Да) $F(-10; 6\frac{2}{3})$: $-10 \cdot (-\frac{1}{3}) + 4 = \frac{10}{3} + 4 = 3\frac{1}{3} + 4 = 7\frac{1}{3} \neq 6\frac{2}{3}$ (Нет) **Ответ: B, C, E.** 12.1-4. Приравняем правые части уравнений: $-\frac{5}{6}x + 2 = 3x - 1 \Rightarrow 3 = 3\frac{5}{6}x \Rightarrow 3 = \frac{23}{6}x \Rightarrow x = \frac{18}{23}$. $y = 3 \cdot \frac{18}{23} - 1 = \frac{54}{23} - 1 = \frac{31}{23} = 1\frac{8}{23}$. **Ответ: (\frac{18}{23}; 1\frac{8}{23}).** 12.1-5. Уравнение прямой $y = kx + b$. Составим систему: $\begin{cases} 5 = 3k + b \\ \frac{1}{2} = -2k + b \end{cases} \Rightarrow 4,5 = 5k \Rightarrow k = 0,9; b = 5 - 2,7 = 2,3$. Уравнение: $y = 0,9x + 2,3$. Проверка точки $(-4; -3)$: $-3 = 0,9 \cdot (-4) + 2,3 \Rightarrow -3 = -3,6 + 2,3 = -1,3$ (Ложно). **Ответ: y = 0,9x + 2,3; не проходит.** 12.1-6. :::div .chart-container @chart-1::: 12.1-7. Прямые: $y = 4x + 2$, $y = 2 - x$, $y = 46$. Находим точки пересечения: 1) $4x + 2 = 46 \Rightarrow 4x = 44 \Rightarrow x = 11$. Точка $A(11; 46)$. 2) $2 - x = 46 \Rightarrow x = -44$. Точка $B(-44; 46)$. 3) $4x + 2 = 2 - x \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 2$. Точка $C(0; 2)$. Основание $AB = |11 - (-44)| = 55$. Высота $h = 46 - 2 = 44$. $S = \frac{1}{2} \cdot 55 \cdot 44 = 1210$. **Ответ: 1210.** 12.1-8. а) $-3 = (a-3) \cdot (-4) - 4 \Rightarrow 1 = -4a + 12 \Rightarrow 4a = 11 \Rightarrow a = 2,75$. б) Прямые параллельны, если $k_1 = k_2$: $a - 3 = -3 \Rightarrow a = 0$. в) Прямая горизонтальна при $k = 0$: $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$. **Ответ: а) 2,75; б) 0; в) 3.** 12.1-9. Прямая параллельна $y = -\frac{1}{3}x + 4$, значит $k = -\frac{1}{3}$. а) $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 3) \Rightarrow y + 1 = -\frac{1}{3}x + 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x$. б) Пересечение: $-x + 12 = -4x - 18 \Rightarrow 3x = -30 \Rightarrow x = -10, y = 22$. Точка $(-10; 22)$. $22 = -\frac{1}{3}(-10) + b \Rightarrow 22 = 3\frac{1}{3} + b \Rightarrow b = 18\frac{2}{3}$. Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 18\frac{2}{3}$. **Ответ: а) y = -1/3x; б) y = -1/3x + 18 2/3.** 12.1-10. Подставим $y = 5$ во второе уравнение: $5 = 3x - 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2; 5)$. Подставим в первое: $5 = -2 + 2a \Rightarrow 2a = 7 \Rightarrow a = 3,5$. **Ответ: 3,5.** 12.1-11. Найдем уравнение через $(-176; 350)$ и $(4; 8)$: $\begin{cases} 350 = -176k + b \\ 8 = 4k + b \end{cases} \Rightarrow 342 = -180k \Rightarrow k = -1,9; b = 8 - 4(-1,9) = 15,6$. Проверим точку $(-3; -3)$: $-1,9 \cdot (-3) + 15,6 = 5,7 + 15,6 = 21,3 \neq -3$. **Ответ: Нет.** 12.1-12. $y = \frac{2}{3}x + 1$. а) $y = 0 \Rightarrow 0 = \frac{2}{3}x + 1 \Rightarrow x = -1,5$. Точка $(-1,5; 0)$. б) $x = 0 \Rightarrow y = 1$. Точка $(0; 1)$. в) $\frac{2}{3}x + 1 = -\frac{2}{3}x - 1 \Rightarrow \frac{4}{3}x = -2 \Rightarrow x = -1,5, y = 0$. Точка $(-1,5; 0)$. г) Прямая $y = 3$ или $y = -3$. Для $y=3: 3 = \frac{2}{3}x + 1 \Rightarrow x = 3, (3; 3)$. Для $y=-3: -3 = \frac{2}{3}x + 1 \Rightarrow x = -6, (-6; -3)$. **Ответ: а) (-1,5; 0); б) (0; 1); в) (-1,5; 0); г) (3; 3) и (-6; -3).** 12.1-13. $y = 5 - \frac{5}{12}x$. С осью $Oy$ ($x=0$): $y = 5$. Точка $A(0; 5)$. С осью $Ox$ ($y=0$): $0 = 5 - \frac{5}{12}x \Rightarrow \frac{5}{12}x = 5 \Rightarrow x = 12$. Точка $B(12; 0)$. Расстояние $d = \sqrt{(12-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$. **Ответ: 13.** 12.1-14. Прямая $y = 4x + 2$. С осью $Oy$: $x=0, y=2$. С осью $Ox$: $y=0, x=-0,5$. Треугольник прямоугольный с катетами $2$ и $0,5$. $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0,5 = 0,5$. **Ответ: 0,5.**