Решите уравнение tg2x + sin2x = 8/3 ctgx

Решим тригонометрическое уравнение: $tg2x + sin2x = \frac{8}{3}ctgx$ 1. Запишем область допустимых значений (ОДЗ): $\begin{cases} cos2x \neq 0 \\ sinx \neq 0 \\ cosx \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x \neq \frac{\pi n}{2} \end{cases} \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x \neq \frac{\pi n}{2}$ 2. Используем формулы двойного угла и определение котангенса: $\frac{sin2x}{cos2x} + sin2x = \frac{8cosx}{3sinx}$ $sin2x \cdot (\frac{1}{cos2x} + 1) = \frac{8cosx}{3sinx}$ $2sinx cosx \cdot \frac{1 + cos2x}{cos2x} = \frac{8cosx}{3sinx}$ 3. Так как $cosx \neq 0$, разделим обе части на $2cosx$: $sinx \cdot \frac{1 + (2cos^2x - 1)}{cos2x} = \frac{4}{3sinx}$ $sinx \cdot \frac{2cos^2x}{cos2x} = \frac{4}{3sinx}$ 4. Перемножим крест-накрест: $3sin^2x \cdot 2cos^2x = 4cos2x$ $\frac{3}{2} \cdot (2sinx cosx)^2 = 4cos2x$ $\frac{3}{2} sin^2 2x = 4cos2x$ $3(1 - cos^2 2x) = 8cos2x$ $3cos^2 2x + 8cos2x - 3 = 0$ 5. Пусть $cos2x = t$, где $|t| \le 1$: $3t^2 + 8t - 3 = 0$ $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$ $t_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) 6. Вернемся к замене: $cos2x = \frac{1}{3}$ $2x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{1}{2} arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Данные корни входят в ОДЗ. **Ответ: $\pm \frac{1}{2} arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$**