Плоскость α проходит через основание AC равнобедренного треугольника ABC. BD — высота треугольника. а) Докажите перпендикулярность прямой AC и плоскости BDO. б) Докажите перпендикулярность плоскостей BCO и α. в) Найдите периметр ABC, если BO = 3 см, DO = √7 см, CO = 4 см.

### Задача 1 **а) Докажите перпендикулярность прямой $AC$ и плоскости $BDO$.** 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то его высота $BD$ также является медианой, следовательно, $BD \perp AC$. 2. Из рисунка видно, что $O$ — проекция вершины $B$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $DO$ является проекцией наклонной $BD$ на плоскость $\alpha$. 3. По условию $BD$ — высота, $BD \perp AC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная $BD \perp AC$, то и её проекция $DO \perp AC$. 4. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DO$ плоскости $BDO$. Следовательно, $AC \perp (BDO)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. **б) Докажите перпендикулярность плоскостей $BCO$ и $\alpha$.** Допущение: точка $O$ лежит на высоте $BD$ или является основанием перпендикуляра из $B$ к плоскости $\alpha$. Если $BO \perp \alpha$, то любая плоскость, проходящая через $BO$ (в том числе $BCO$), перпендикулярна $\alpha$ по признаку перпендикулярности плоскостей. **в) Найдите периметр $ABC$, если $BO = 3\text{ см}, DO = \sqrt{7}\text{ см}, CO = 4\text{ см}$.** 1. Из $\triangle BDO$ (прямоугольный, т.к. $BO \perp DO$): $BD = \sqrt{BO^2 + DO^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{9 + 7} = 4\text{ см}$. 2. Из $\triangle CDO$ (прямоугольный, т.к. $DO \perp AC$, а $C$ лежит на $AC$): $DC = \sqrt{CO^2 - DO^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{16 - 7} = 3\text{ см}$. 3. Так как $D$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot DC = 6\text{ см}$. 4. Из $\triangle BDC$ (прямоугольный): $BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ см}$. 5. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $AB = BC = 5\text{ см}$. 6. $P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 + 5 + 6 = 16\text{ см}$. **Ответ: 16 см.** ### Задача 2 1. Сторона квадрата $a = \sqrt{144} = 12\text{ см}$. 2. Расстояние от центра квадрата до его сторон $r = a/2 = 6\text{ см}$. 3. Пусть $S$ — данная точка, $H$ — её проекция на плоскость (центр квадрата), $M$ — точка на стороне. $SH = 8\text{ см}$, $HM = 6\text{ см}$. 4. Расстояние до сторон $SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ см}$. **Ответ: 10 см.** ### Задача 3 Так как $\alpha \perp \beta$, $OA \perp l$ и $OB \perp l$, то $\triangle AOB$ — прямоугольный ($\angle AOB = 90^\circ$). **Левое подзадание:** Пусть $CB$ (видимо $AB$) $: AB = 12 : 13$. Если $OA = 20$, то по теореме Пифагора: $AB^2 = OA^2 + OB^2$. Пусть $AB = 13x$, тогда $OB = 12x$. $169x^2 = 400 + 144x^2 \Rightarrow 25x^2 = 400 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$. $AB = 13 \cdot 4 = 52\text{ см}$. **Ответ: 52 см.** **Правое подзадание:** $AB = 40, OA : OB = 3 : 4$. Пусть $OA = 3x, OB = 4x$. $(3x)^2 + (4x)^2 = 40^2 \Rightarrow 9x^2 + 16x^2 = 1600 \Rightarrow 25x^2 = 1600 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8$. $OA = 3 \cdot 8 = 24\text{ см}, OB = 4 \cdot 8 = 32\text{ см}$. **Ответ: 24 см, 32 см.**