Докажем, что равенство (a + b)(a³ - a²b + ab² - b³) = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³) является тождеством

Question

Вопрос:

Докажем, что равенство (a + b)(a³ - a²b + ab² - b³) = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³) является тождеством

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

В данном примере разбирается доказательство тождества $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$. Для доказательства тождества нужно показать, что после упрощения левая и правая части уравнения становятся одинаковыми. 1. Раскроем скобки в левой части: $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) =$ $= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$ Заметим, что члены $-a^3b$ и $+a^3b$, $+a^2b^2$ и $-a^2b^2$, $-ab^3$ и $+ab^3$ взаимно уничтожаются. Получаем: $a^4 - b^4$. 2. Раскроем скобки в правой части: $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) =$ $= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$ Здесь также взаимно уничтожаются $a^3b$ и $-a^3b$, $a^2b^2$ и $-a^2b^2$, $ab^3$ и $-ab^3$. Получаем: $a^4 - b^4$. Так как обе части выражения после преобразований равны $a^4 - b^4$, исходное равенство является тождеством.

Докажем, что равенство (a + b)(a³ - a²b + ab² - b³) = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³) является тождеством

Ответ ассистента

Другие решения