В графе 24 ребра. Каждая вершина графа имеет или степень 2, или степень 4, или степень 7. Причем вершин степени 2 на 6 больше, чем вершин степени 7. Сколько вершин в этом графе?

Пусть $x$ — количество вершин степени 2, $y$ — количество вершин степени 4, а $z$ — количество вершин степени 7. По условию задачи общее количество рёбер $E = 24$. Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер: $2x + 4y + 7z = 2 \cdot 24$ $2x + 4y + 7z = 48$ Также из условия известно, что вершин степени 2 на 6 больше, чем вершин степени 7: $x = z + 6$ Подставим выражение для $x$ в первое уравнение: $2(z + 6) + 4y + 7z = 48$ $2z + 12 + 4y + 7z = 48$ $9z + 4y = 36$ Так как $y$ и $z$ — это количество вершин, они должны быть целыми неотрицательными числами. Рассмотрим возможные значения для $z$: 1. Если $z = 0$, то $4y = 36 \Rightarrow y = 9$. 2. Если $z = 1, 2, 3$, то $36 - 9z$ не делится на 4 нацело. 3. Если $z = 4$, то $9 \cdot 4 + 4y = 36 \Rightarrow 36 + 4y = 36 \Rightarrow y = 0$. Найдем общее количество вершин $V = x + y + z$ для каждого случая: 1. При $z = 0, y = 9$: $x = 0 + 6 = 6$. Тогда $V = 6 + 9 + 0 = 15$. 2. При $z = 4, y = 0$: $x = 4 + 6 = 10$. Тогда $V = 10 + 0 + 4 = 14$. В задаче не указано, что граф связный или что отсутствуют вершины какой-либо из указанных степеней. Однако обычно в таких задачах подразумевается существование всех типов вершин. Если $y > 0$ и $z > 0$, то решений нет. Если допустить, что вершин какой-то степени может быть 0, то подходят оба варианта. **Ответ: 14 или 15**.