Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 2-6). Найти площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 1).

Для решения задач на нахождение площади полной поверхности правильной пирамиды воспользуемся формулами: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_{a}$, где $P$ — периметр основания, $h_{a}$ — апофема (высота боковой грани). **Задача 1** Дано: правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро $SC = 6$, угол между боковым ребром и высотой $\angle OSC = 30^{\circ}$. Найти $S_{бок}$. 1. Из $\triangle SOC$ (прямоугольный): $OC = SC \cdot \sin 30^{\circ} = 6 \cdot 0,5 = 3$. В правильном шестиугольнике сторона основания $a = OC = 3$. 2. Высота пирамиды $SO = SC \cdot \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 3. Апофема $SM$ (где $M$ — середина $CD$): в основании $\triangle OCD$ равносторонний со стороной 3, его высота $OM = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. 4. Из $\triangle SOM$: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{27 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{135}{4}} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$. 5. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (6 \cdot 3) \cdot \frac{3\sqrt{15}}{2} = \frac{27\sqrt{15}}{2} = 13,5\sqrt{15}$. **Ответ: $13,5\sqrt{15}$.** **Задача 2** Дано: правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания $a = 4$, угол наклона боковой грани к основанию $60^{\circ}$. 1. $S_{осн} = 4^2 = 16$. Равноудаленная от сторон точка $O$ дает отрезок к середине стороны $OM = a/2 = 2$. 2. Из $\triangle SOM$: апофема $SM = \frac{OM}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2}{0,5} = 4$. 3. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 4) \cdot 4 = 32$. 4. $S_{полн} = 32 + 16 = 48$. **Ответ: 48.** **Задача 3** Дано: правильная четырёхугольная пирамида, $SO = 2\sqrt{7}$, боковое ребро $l = 10$. 1. Из $\triangle SOC$: $OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{100 - 28} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. 2. Диагональ квадрата $d = 2 \cdot OC = 12\sqrt{2}$. Сторона основания $a = d / \sqrt{2} = 12$. $S_{осн} = 12^2 = 144$. 3. Апофема $SM = \sqrt{SC^2 - (a/2)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$. 4. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 12) \cdot 8 = 192$. $S_{полн} = 192 + 144 = 336$. **Ответ: 336.** **Задача 4** Дано: правильная шестиугольная пирамида, сторона основания $a$, боковое ребро $b$. 1. $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$. 2. Апофема $h_{a} = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. 3. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 6a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{3a\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. 4. $S_{полн} = \frac{3\sqrt{3}a^2 + 3a\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{3a}{2}(\sqrt{3}a + \sqrt{4b^2 - a^2})$. **Ответ: $\frac{3a}{2}(\sqrt{3}a + \sqrt{4b^2 - a^2})$.**