Найдите остаток при делении 2¹⁰⁰ на 7.

Для решения таких задач удобно использовать свойства степеней и искать закономерность остатков. 1. Выпишем остатки от деления степеней двойки на 7: $2^1 = 2 \equiv 2 \pmod 7$ $2^2 = 4 \equiv 4 \pmod 7$ $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ 2. Мы нашли цикл: каждые три степени остатки повторяются (2, 4, 1). Число $2^3$ дает в остатке 1. Это значит, что любая степень вида $2^{3k}$ также будет давать в остатке 1. 3. Представим показатель степени 100 через множитель 3: $100 = 3 \cdot 33 + 1$ 4. Используем свойства степеней: $2^{100} = 2^{3 \cdot 33 + 1} = (2^3)^{33} \cdot 2^1$ 5. Подставим остатки: Так как $2^3 \equiv 1 \pmod 7$, то $(2^3)^{33} \equiv 1^{33} \equiv 1 \pmod 7$. Тогда $2^{100} \equiv 1 \cdot 2^1 \equiv 2 \pmod 7$. **Ответ: 2**