Найдите значение выражения log_a(a^3b^14), если log_a b = -2

7. Используем свойства логарифма: $\log_a (a^3 b^{14}) = \log_a a^3 + \log_a b^{14} = 3 \log_a a + 14 \log_a b = 3 + 14 \log_a b$. Подставим значение $\log_a b = -2$: $3 + 14 \cdot (-2) = 3 - 28 = -25$. **Ответ: -25** 8. Точки максимума функции $f(x)$ соответствуют точкам, в которых её производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус (график пересекает ось $Ox$ сверху вниз). На отрезке $[1; 15]$ график $y = f'(x)$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз в 2 точках. **Ответ: 2** 9. По условию $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T}$, где $m_0 = 48$, $T = 8$, $m(t) = 3$. Подставим: $3 = 48 \cdot 2^{-t/8} \Rightarrow \frac{3}{48} = 2^{-t/8} \Rightarrow \frac{1}{16} = 2^{-t/8} \Rightarrow 2^{-4} = 2^{-t/8}$. Приравниваем степени: $-4 = -\frac{t}{8} \Rightarrow t = 32$. **Ответ: 32** 10. Пусть $S$ — расстояние в одну сторону. Скорость по течению $15+1=16$ км/ч, против течения $15-1=14$ км/ч. Время в пути: $18 - 3 = 15$ часов. Составим уравнение: $\frac{S}{16} + \frac{S}{14} = 15 \Rightarrow \frac{7S + 8S}{112} = 15 \Rightarrow \frac{15S}{112} = 15 \Rightarrow S = 112$. Весь путь: $2S = 224$ км. **Ответ: 224** 11. На графике парабола с вершиной в точке $(4; 4)$. Общий вид: $f(x) = a(x-x_0)^2 + y_0$. Подставим вершину: $f(x) = a(x-4)^2 + 4$. График проходит через $(2; 0)$: $0 = a(2-4)^2 + 4 \Rightarrow 0 = 4a + 4 \Rightarrow a = -1$. Тогда $f(x) = -(x-4)^2 + 4$. Найдем $f(-3) = -(-3-4)^2 + 4 = -(-7)^2 + 4 = -49 + 4 = -45$. **Ответ: -45**