Упростить выражение: 1) tg(-α) cos α + sin α; 2) cos α - ctg α (-sin α); 3) (cos (-α) + sin (-α)) / (cos² α - sin² α); 4) tg (-α) ctg (-α) + cos² (-α) + sin² α.

Question

Вопрос:

Упростить выражение: 1) tg(-α) cos α + sin α; 2) cos α - ctg α (-sin α); 3) (cos (-α) + sin (-α)) / (cos² α - sin² α); 4) tg (-α) ctg (-α) + cos² (-α) + sin² α.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для упрощения воспользуемся свойствами четности тригонометрических функций: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}\alpha$, $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}\alpha$. 1) $\text{tg}(-\alpha) \cos\alpha + \sin\alpha = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha = -\sin\alpha + \sin\alpha = 0$ 2) $\cos\alpha - \text{ctg}\alpha(-\sin\alpha) = \cos\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$ 3) $\frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{1}{\cos\alpha + \sin\alpha}$ 4) $\text{tg}(-\alpha)\text{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2\alpha = (-\text{tg}\alpha)(-\text{ctg}\alpha) + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 + 1 = 2$ **Ответ:** 1) 0; 2) $2\cos\alpha$; 3) $\frac{1}{\cos\alpha + \sin\alpha}$; 4) 2.

Упростить выражение: 1) tg(-α) cos α + sin α; 2) cos α - ctg α (-sin α); 3) (cos (-α) + sin (-α)) / (cos² α - sin² α); 4) tg (-α) ctg (-α) + cos² (-α) + sin² α.

Ответ ассистента

Другие решения