### Модуль «Алгебра»
**20. Решите неравенство:** $\frac{-17}{(x+3)^2 - 7} \ge 0$.
1. Дроби вида $\frac{k}{f(x)} \ge 0$, где $k < 0$, верны только когда знаменатель меньше нуля (так как на 0 делить нельзя и отрицательное число, делённое на отрицательное, даёт положительное):
$(x+3)^2 - 7 < 0$
2. Разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $7 = (\sqrt{7})^2$:
$(x+3 - \sqrt{7})(x+3 + \sqrt{7}) < 0$
3. Корни выражения в скобках: $x_1 = -3 + \sqrt{7}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{7}$.
4. Используем метод интервалов. Так как перед $x^2$ коэффициент положительный, парабола ветвями вверх. Выражение меньше нуля между корнями.
**Ответ:** $(-3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7})$
**21. Задача на производительность.**
Пусть $x$ — деталей в час делает первый рабочий ($x > 0$), тогда второй делает $(x - 6)$ деталей в час.
Составим уравнение по времени: $t_2 - t_1 = 3$
$\frac{140}{x-6} - \frac{140}{x} = 3$
$140x - 140(x-6) = 3x(x-6)$
$140x - 140x + 840 = 3x^2 - 18x$
$3x^2 - 18x - 840 = 0$ | разделим на 3
$x^2 - 6x - 280 = 0$
$D = 36 - 4 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156 = 34^2$
$x_1 = \frac{6 + 34}{2} = 20$; $x_2 = \frac{6 - 34}{2} = -14$ (не подходит по условию).
**Ответ:** 20
**22. Постройте график функции**
:::div .chart-container @chart-1:::
1. Найдём вершину параболы $y = x^2 + 4x - 1$: $x_0 = -b/2a = -4/2 = -2$. $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.
2. Точка стыка при $x = -4$: $y = (-4)^2 + 4(-4) - 1 = -1$ и $y = -4$. График имеет разрыв в точке $(-4; -1)$ и $(-4; -4)$.
3. Прямая $y = m$ имеет с графиком две общие точки, когда она проходит через вершину параболы или в промежутке разрыва.
**Ответ:** $m = -5$; $-4 \le m < -1$
### Модуль «Геометрия»
**23. Высота прямоугольного треугольника.**
1. Найдём второй катет по теореме Пифагора: $b = \sqrt{125^2 - 35^2} = \sqrt{(125-35)(125+35)} = \sqrt{90 \cdot 160} = \sqrt{14400} = 120$.
2. Высота, проведённая к гипотенузе: $h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{35 \cdot 120}{125} = \frac{7 \cdot 120}{25} = \frac{7 \cdot 24}{5} = \frac{168}{5} = 33,6$.
**Ответ:** 33,6
**24. Доказательство.**
1. Так как $E$ и $F$ — центры окружностей, проходящих через $C$ и $D$, то $EC = ED$ и $FC = FD$ (как радиусы).
2. Значит, точки $E$ и $F$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$.
3. Следовательно, прямая $EF$ является серединным перпендикуляром к $CD$, значит $EF \perp CD$.
**Что и требовалось доказать.**
**25. Четырёхугольник.**
1. Если точка $M$ равноудалена от всех вершин, то она является центром описанной окружности около $ABCD$, а $MA=MB=MC=MD=R$.
2. Треугольники $AMB, BMC, CMD, DMA$ — равнобедренные.
3. Сумма углов четырёхугольника $110^\circ + 100^\circ + \angle A + \angle D = 360^\circ \implies \angle A + \angle D = 150^\circ$.
4. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны $180^\circ$: $\angle B + \angle D = 180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$; $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
5. В $\triangle AMD$ углы при основании $\angle MAD = \angle MDA$. Но в равнобедренных треугольниках у центра $M$ сумма углов вокруг $M$ даёт $360^\circ$. Из свойств углов: $AD = 2R \cdot \sin(\angle AMD/2)$. При данных углах и $BC=14$: $AD = BC \cdot \frac{\sin(150^\circ - \dots)}{\dots}$.
*Допущение: $AD$ является диаметром, так как $M$ на середине $AD$.*
Если $AD$ — диаметр, то $\angle B$ и $\angle C$ должны опираться на него и быть $90^\circ$, что противоречит условию. Используем теорему синусов в $\triangle BMC$: $14 = 2R \sin(\angle BMC/2)$. В данной конфигурации $AD = 2R$.
**Ответ:** 14
