Известно, что около четырёхугольника PQST можно описать окружность и что продолжения сторон PQ и ST четырёхугольника пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники OPT и OQS подобны.

Для доказательства подобия треугольников $OPT$ и $OQS$ воспользуемся свойствами вписанного четырёхугольника: 1. Так как около четырёхугольника $PQST$ можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle PQS + \angle PTS = 180^\circ$. 2. Углы $\angle PQS$ и $\angle OQS$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle PQS + \angle OQS = 180^\circ$. 3. Из пунктов 1 и 2 получаем, что $\angle PTS = \angle OQS$. Так как точка $T$ лежит на отрезке $OT$, то $\angle PTS$ — это тот же угол, что и $\angle OPT$ в треугольнике $OPT$ (если рассматривать его как угол при основании). 4. В треугольниках $OPT$ и $OQS$: - $\angle O$ — общий угол; - $\angle OPT = \angle OQS$ (как было доказано выше, внешний угол вписанного четырёхугольника равен противолежащему внутреннему углу). 5. По первому признаку подобия треугольников (по двум углам): $\triangle OPT \sim \triangle OQS$. Что и требовалось доказать.