Диагонали ромба равны 6√3 и 6. Найдите меньший угол ромба.

6. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей: $3\sqrt{3}$ и $3$. Пусть $\alpha$ — половина искомого угла. Тогда $\tan \alpha = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $\alpha = 30^{\circ}$. Меньший угол ромба равен $2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: 60^{\circ}**. 7. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{21}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4$ (так как угол острый, косинус положителен). **Ответ: 0,4**. 8. $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. **Ответ: \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}, \tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}**. 9. а) $\frac{\cos 30^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1,5$. б) $3 \tan 30^{\circ} + 4 \tan 45^{\circ} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \cdot 1 = \sqrt{3} + 4$. **Ответ: а) 1,5; б) \sqrt{3} + 4**. 10. В прямоугольном треугольнике $KMN$ ($∠ N = 90^{\circ}$) сторона $KN$ является гипотенузой. $KM$ — катет, прилежащий к углу $K = 30^{\circ}$. $KM = KN \cdot \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. **Ответ: 6\sqrt{3} см**.