Решите задачи 22, 24, 26, 28, 30 по геометрии на признаки равенства прямоугольных треугольников.

22. Дано: $AB \perp BC$, $\angle B + \angle C = 135^{\circ}$, $AB + BC = 8$ см. Найти: $BC$. 1) Так как $AB \perp BC$, то $\angle B = 90^{\circ}$. 2) Из условия $\angle B + \angle C = 135^{\circ}$ находим: $\angle C = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle B = 90^{\circ}$), сумма острых углов равна $90^{\circ}$, значит $\angle A = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. 4) Так как $\angle A = \angle C = 45^{\circ}$, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, следовательно, $AB = BC$. 5) Из условия $AB + BC = 8$ см и равенства $AB = BC$ получаем: $BC + BC = 8 \Rightarrow 2BC = 8 \Rightarrow BC = 4$ см. Ответ: 4 см. 24. Дано: $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$, $\angle C = \angle D$. Доказать: $AC = BD$. 1) Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$. Они прямоугольные по условию ($\angle B = \angle A = 90^{\circ}$). 2) У них общая сторона $AB$ (катет). 3) В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 90^{\circ} - \angle C$. В $\triangle BAD$: $\angle ABD = 90^{\circ} - \angle D$. Так как по условию $\angle C = \angle D$, то $\angle BAC = \angle ABD$. 4) $\triangle ABC = \triangle BAD$ по катету и прилежащему острому углу ($AB$ — общая, $\angle BAC = \angle ABD$). 5) В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит $AC = BD$. 26. Дано: $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$, $AB = CD$. Доказать: $AO = CO$. 1) Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$. Они прямоугольные ($\angle B = \angle D = 90^{\circ}$). 2) $AB = CD$ по условию (катеты). 3) $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. 4) $\triangle ABO = \triangle CDO$ по катету и противолежащему острому углу. 5) Следовательно, гипотенузы равны: $AO = CO$. 28. Дано: $\angle CAD = \angle DBC = 90^{\circ}$, $AD = CB$. Доказать: $\triangle AOB$ — равнобедренный. 1) Рассмотрим $\triangle CAD$ и $\triangle DBC$. Они прямоугольные ($\angle A = \angle B = 90^{\circ}$). 2) $AD = CB$ по условию (катеты), $CD$ — общая сторона (гипотенуза). 3) $\triangle CAD = \triangle DBC$ по гипотенузе и катету. 4) Из равенства треугольников следует, что $\angle ACD = \angle BDC$. 5) В $\triangle COD$ два угла равны, значит он равнобедренный, $CO = DO$. 6) Так как $AC = BD$ (из равенства треугольников в п.3) и $CO = DO$, то $AO = AC - CO$ и $BO = BD - DO$ будут равны: $AO = BO$. Значит $\triangle AOB$ — равнобедренный. 30. Дано: $\angle N = \angle K = 90^{\circ}$, $AO = CO$. Доказать: $AB = CB$. 1) Рассмотрим $\triangle ANO$ и $\triangle CKO$. Они прямоугольные ($\angle N = \angle K = 90^{\circ}$). 2) $AO = CO$ по условию (гипотенузы), $\angle AON = \angle COK$ как вертикальные. 3) $\triangle ANO = \triangle CKO$ по гипотенузе и острому углу. 4) Из равенства следует: $AN = CK$ и $\angle NAO = \angle KCO$. 5) Рассмотрим $\triangle ANB$ и $\triangle CKB$. Они прямоугольные, $AN = CK$. Угол $\angle B$ — общий. 6) $\triangle ANB = \triangle CKB$ по катету и противолежащему острому углу. Значит, их гипотенузы равны: $AB = CB$.