Третья четверть разделена точкой P в отношении 1 : 5. Чему равна длина дуги: CP, PD, AP?

### Домашняя работа **№1** Длина четверти единичной окружности равна $\frac{\pi}{2}$. Третья четверть — это дуга $CD$, где $C(\pi)$ и $D(\frac{3\pi}{2})$. Точка $P$ делит её в отношении $1:5$. 1. Найдём длину одной части: $\frac{\pi}{2} : (1+5) = ?rac{\pi}{12}$. 2. Длина дуги $CP$ (1 часть): $\frac{\pi}{12}$. 3. Длина дуги $PD$ (5 частей): $5 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$. 4. Длина дуги $AP$: точка $A$ — начало отсчёта $(0)$. Точка $P$ находится на расстоянии $\pi + \frac{\pi}{12}$ от $A$. Длина дуги $AP = \frac{13\pi}{12}$. **Ответ: $CP = \frac{\pi}{12}, PD = \frac{5\pi}{12}, AP = \frac{13\pi}{12}$.** **№2** Точки на единичной окружности определяются путём откладывания указанной длины от точки $(1;0)$ против часовой стрелки (если число положительное) или по ней (если отрицательное). Приблизительно $\pi \approx 3,14$. а) 1: I четверть ($1 < 1,57$); б) -5: II четверть (так как $-5 + 2\pi \approx 1,28$); в) 4,5: III четверть ($3,14 < 4,5 < 4,71$); г) -3: III четверть (чуть меньше $-\pi$). **№3** а) $\frac{\pi}{2}$ — верхняя точка пересечения с осью $y$ (точка $(0; 1)$). б) $\pi$ — левая точка пересечения с осью $x$ (точка $(-1; 0)$). в) $\frac{3\pi}{2}$ — нижняя точка пересечения с осью $y$ (точка $(0; -1)$). г) $2\pi$ — правая точка пересечения с осью $x$, совпадает с началом отсчёта (точка $(1; 0)$). **№4** $\sqrt{3x+1} = x-1$ 1. ОДЗ и условие возведения в квадрат: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x \ge 1$. 2. Возведём в квадрат: $3x+1 = (x-1)^2 \Rightarrow 3x+1 = x^2 - 2x + 1$. 3. $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0$. 4. Корни: $x_1 = 0$ (не подходит по условию $x \ge 1$), $x_2 = 5$ (подходит). **Ответ: 5.**