Найти все токи в цепи с тремя параллельными ветвями, содержащими ЭДС и сопротивления.

Для решения задачи воспользуемся правилами Кирхгофа. Схема представляет собой три параллельные ветви, каждая из которых содержит источник ЭДС ($\mathcal{E}$, $2\mathcal{E}$, $3\mathcal{E}$) и резистор ($R$, $2R$, $3R$ соответственно). Все источники направлены в одну сторону. 1. Обозначим потенциалы узлов. Пусть потенциал правого узла $\varphi_B = 0$, тогда потенциал левого узла — $\varphi_A$. 2. Ток в каждой ветви направим слева направо и выразим через разность потенциалов по закону Ома для участка цепи с ЭДС: $I_1 = \frac{\varphi_A + \mathcal{E} - \varphi_B}{R} = \frac{\varphi_A + \mathcal{E}}{R}$ $I_2 = \frac{\varphi_A + 2\mathcal{E} - \varphi_B}{2R} = \frac{\varphi_A + 2\mathcal{E}}{2R} = \frac{\varphi_A}{2R} + \frac{\mathcal{E}}{R}$ $I_3 = \frac{\varphi_A + 3\mathcal{E} - \varphi_B}{3R} = \frac{\varphi_A + 3\mathcal{E}}{3R} = \frac{\varphi_A}{3R} + \frac{\mathcal{E}}{R}$ 3. По первому правилу Кирхгофа для узла $A$: $I_1 + I_2 + I_3 = 0$. $\frac{\varphi_A + \mathcal{E}}{R} + \frac{\varphi_A + 2\mathcal{E}}{2R} + \frac{\varphi_A + 3\mathcal{E}}{3R} = 0$ 4. Вынесем $\varphi_A$ и $\mathcal{E}$ за скобки: $\frac{\varphi_A}{R} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + \frac{\mathcal{E}}{R} (1 + 1 + 1) = 0$ $\frac{\varphi_A}{R} \cdot \frac{11}{6} + \frac{3\mathcal{E}}{R} = 0$ $\frac{11\varphi_A}{6} = -3\mathcal{E} \Rightarrow \varphi_A = -\frac{18\mathcal{E}}{11}$ 5. Подставим значение $\varphi_A$ в формулы для токов: $I_1 = \frac{-\frac{18}{11}\mathcal{E} + \mathcal{E}}{R} = -\frac{7\mathcal{E}}{11R}$ $I_2 = \frac{-\frac{18}{11}\mathcal{E} + 2\mathcal{E}}{2R} = \frac{\frac{4}{11}\mathcal{E}}{2R} = \frac{2\mathcal{E}}{11R}$ $I_3 = \frac{-\frac{18}{11}\mathcal{E} + 3\mathcal{E}}{3R} = \frac{\frac{15}{11}\mathcal{E}}{3R} = \frac{5\mathcal{E}}{11R}$ **Ответ:** $I_1 = -\frac{7\mathcal{E}}{11R}$; $I_2 = \frac{2\mathcal{E}}{11R}$; $I_3 = \frac{5\mathcal{E}}{11R}$ (минус означает, что ток $I_1$ течет в противоположную сторону — справа налево).