Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного p, меньшего n, разность n - p также является простым числом.

Для решения задачи проверим натуральные числа $n$ по порядку, начиная с небольших значений. Условие должно выполняться для всех простых нечётных $p < n$. 1. Если $n = 4$: нечётное простое $p < 4$ только $p = 3$. Разность $4 - 3 = 1$. Число 1 не является простым. $n = 4$ не подходит. 2. Если $n = 6$: нечётное простое $p < 6$ это $3, 5$. $6 - 3 = 3$ (простое); $6 - 5 = 1$ (не простое). Не подходит. 3. Если $n = 7$: нечётные простые $p < 7$ это $3, 5$. $7 - 3 = 4$ (не простое). Не подходит. 4. Если $n = 8$: нечётные простые $p < 8$ это $3, 5, 7$. $8 - 3 = 5$ (простое); $8 - 5 = 3$ (простое); $8 - 7 = 1$ (не простое). Не подходит. 5. Если $n = 10$: нечётные простые $p < 10$ это $3, 5, 7$. $10 - 3 = 7$ (простое); $10 - 5 = 5$ (простое); $10 - 7 = 3$ (простое). **Подходит**. 6. Если $n = 12$: нечётные простые $p < 12$ это $3, 5, 7, 11$. $12 - 11 = 1$ (не простое). Не подходит. 7. Если $n = 13$: $13 - 3 = 10$ (не простое). Не подходит. 8. Если $n = 14$: простые $p < 14$ это $3, 5, 7, 11, 13$. $14 - 13 = 1$ (не простое). Не подходит. 9. Проверим $n > 10$. Если $n$ — нечётное, то $n - p$ (нечётное минус нечётное) будет чётным. Чтобы $n-p$ было простым, оно должно быть равно 2. Но это невозможно для всех $p < n$ одновременно. Если $n$ — чётное и $n > 10$, то всегда найдётся такое нечётное простое $p$, что разность $n - p$ будет составным числом или 1 (например, если $p = n-1$). При $n = 10$ условие выполняется для всех $p \in \{3, 5, 7\}$. При любых $n > 10$ условие нарушается. **Ответ: 10**.