Докажите тождество (2sinα/cosα - (tgα + tgβ)) / (cosα/cosα - tgαtgβ) = tg(α + β)

Для доказательства тождества воспользуемся основными тригонометрическими формулами: 1. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$ 2. $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$ Рассмотрим левую часть выражения: $$\frac{\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} - (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta)}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$$ Заметим, что $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$, а $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = 1$. Подставим эти значения: $$\frac{2 \operatorname{tg} \alpha - (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta)}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$$ **Допущение:** Вероятно, в условии на картинке допущена опечатка в знаках или исходном выражении, так как полученный результат $\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$ соответствует формуле тангенса разности $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$, а не суммы $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$. Если бы в числителе было $2 \sin \alpha / \cos \alpha + (\operatorname{tg} \beta - \operatorname{tg} \alpha)$, то получилось бы в точности $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$. Ответ: выражение преобразуется к $\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.