БИЛЕТ № 1. 1. Луч и угол (определение). Какой луч называется биссектрисой угла? Сделайте рисунок.

На изображении представлено 6 билетов с заданиями по геометрии. Привожу краткое решение задач (пункты №3) из билетов, где они присутствуют. **БИЛЕТ № 1, задача 3** В треугольнике $ABC$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота. $AC = 216$, $HC = 54$, $\angle ACB = 40^\circ$. Найдите $\angle AMB$. 1. Так как $BM$ — медиана, то $MC = AC / 2 = 216 / 2 = 108$. 2. Точка $H$ лежит на отрезке $MC$, так как $HC = 54 < MC = 108$. Найдем $MH = MC - HC = 108 - 54 = 54$. 3. В треугольнике $MBC$ отрезок $BH$ является высотой и медианой (так как $MH = HC = 54$), значит $\triangle MBC$ — равнобедренный ($MB = BC$). 4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BMC = \angle ACB = 40^\circ$. 5. $\angle AMB$ и $\angle BMC$ — смежные, их сумма $180^\circ$. $\angle AMB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. **Ответ: 140.** **БИЛЕТ № 2, задача 3** Прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 22^\circ$, $\angle 2 = 72^\circ$. 1. Угол, вертикальный углу 1, равен $22^\circ$. Обозначим его $\alpha$. 2. Угол, накрест лежащий с углом 2 при параллельных прямых, равен $72^\circ$. 3. Угол 3 является внешним углом треугольника, образованного пересечением секущих и прямой $n$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle 3 = \alpha + \angle 2$ (так как соответственный угол для суммы равен $\angle 3$). $\angle 3 = 22^\circ + 72^\circ = 94^\circ$. **Ответ: 94.** **БИЛЕТ № 3, задача 3** В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы $BK$ и $AM$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle AOK$. 1. В равностороннем треугольнике медианы являются биссектрисами и высотами. Значит, $\angle BAK = 60^\circ$, а $AM$ — биссектриса, тогда $\angle OAK = 30^\circ$. 2. $BK$ — высота, значит $\angle AKO = 90^\circ$. 3. В прямоугольном $\triangle AOK$: $\angle AOK = 90^\circ - \angle OAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ: 60.** **БИЛЕТ № 4, задача 3** В равностороннем треугольнике $ABC$ биссектрисы $CN$ и $AM$ пересекаются в точке $P$. Найдите $\angle MPN$. 1. Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Биссектрисы делят их пополам: $\angle PAC = 30^\circ$ и $\angle PCA = 30^\circ$. 2. В $\triangle APC$: $\angle APC = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. 3. Углы $\angle MPN$ и $\angle APC$ — вертикальные, значит $\angle MPN = 120^\circ$. **Ответ: 120.**