Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 2-6) и площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 1).

Для решения задач на правильную пирамиду используем формулы: Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P h_{a}$, где $P$ — периметр основания, $h_{a}$ — апофема. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$. **Задача 1** Дано: правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро $SC = 6$, угол между боковым ребром и плоскостью основания $\angle SCO = 30^{\circ}$. Найти $S_{бок}$. 1. Из $\triangle SOC$ (прямоугольный): $SO = SC \cdot \sin 30^{\circ} = 6 \cdot 0,5 = 3$; $OC = SC \cdot \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 2. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности $R = OC = a$ (сторона основания), значит $a = 3\sqrt{3}$. 3. Апофема $h_{a} = \sqrt{SC^2 - (a/2)^2} = \sqrt{6^2 - (1,5\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 6,75} = \sqrt{29,25} = \sqrt{\frac{117}{4}} = \frac{3\sqrt{13}}{2}$. 4. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (6 \cdot 3\sqrt{3}) \cdot \frac{3\sqrt{13}}{2} = 13,5\sqrt{39}$. **Ответ: $13,5\sqrt{39}$.** **Задача 2** Дано: правильная четырехугольная пирамида, сторона основания $a = 4$, угол между боковой гранью и основанием $\angle SKO = 60^{\circ}$ ($K$ — середина $CD$). 1. $S_{осн} = 4^2 = 16$. 2. В $\triangle SOK$ (прямоугольный): $OK = a/2 = 2$. Апофема $h_{a} = SK = \frac{OK}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2}{0,5} = 4$. 3. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 4) \cdot 4 = 32$. 4. $S_{полн} = 32 + 16 = 48$. **Ответ: 48.** **Задача 3** Дано: правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро $L = 10$, высота $SO = 2\sqrt{7}$. 1. Из $\triangle SOC$: $OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{100 - 28} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. 2. Т.к. $OC$ — половина диагонали квадрата ($R = a\frac{\sqrt{2}}{2}$), то $a = 12$. $S_{осн} = 12^2 = 144$. 3. Апофема $h_{a} = \sqrt{SC^2 - (a/2)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$. 4. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 12) \cdot 8 = 192$. 5. $S_{полн} = 192 + 144 = 336$. **Ответ: 336.** **Задача 4** Дано: правильная шестиугольная пирамида, сторона $a$, боковое ребро $b$. 1. $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$. 2. Апофема $h_{a} = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. 3. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 6a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{3a\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. 4. $S_{полн} = \frac{3\sqrt{3}a^2 + 3a\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. **Ответ: $\frac{3a}{2}(\sqrt{3}a + \sqrt{4b^2 - a^2})$.**