Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды (рис. 5-6).

5. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$: $SO = h$ — высота пирамиды. $\angle SEO = \beta$ — линейный угол двугранного угла при основании ($SE \perp BC$, $OE \perp BC$). 1) Из $\triangle SOE$ (прямоугольный): $OE = SO \cdot \text{ctg} \beta = h \text{ctg} \beta$. Так как $OE$ — половина стороны квадрата, то сторона основания $a = 2h \text{ctg} \beta$. 2) Апофема $SE = \frac{h}{\sin \beta}$. 3) Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = (2h \text{ctg} \beta)^2 = 4h^2 \text{ctg}^2 \beta$. 4) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot SE = \frac{1}{2} (4 \cdot 2h \text{ctg} \beta) \cdot \frac{h}{\sin \beta} = \frac{4h^2 \text{ctg} \beta}{\sin \beta}$. 5) Полная поверхность: $S_{полн} = 4h^2 \text{ctg}^2 \beta + \frac{4h^2 \text{ctg} \beta}{\sin \beta} = 4h^2 \text{ctg} \beta (\text{ctg} \beta + \frac{1}{\sin \beta}) = 4h^2 \text{ctg} \beta \frac{\cos \beta + 1}{\sin \beta} = 4h^2 \text{ctg} \beta \text{ctg} \frac{\beta}{2}$. **Ответ: $4h^2 \text{ctg} \beta \text{ctg} \frac{\beta}{2}$**. 6. В правильной треугольной пирамиде $SABC$: $AB = BC = AC = a$. $\angle ASO = \alpha$ — угол между боковым ребром и высотой. 1) Радиус описанной окружности основания $R = AO = \frac{a}{\sqrt{3}}$. 2) Из $\triangle SAO$ (прямоугольный): высота $SO = AO \cdot \text{ctg} \alpha = \frac{a \text{ctg} \alpha}{\sqrt{3}}$; боковое ребро $s = SA = \frac{AO}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sqrt{3} \sin \alpha}$. 3) Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. 4) Для площади боковой поверхности найдем апофему $SD$ из $\triangle SAD$: $SD = \sqrt{s^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3 \sin^2 \alpha} - \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{4 - 3 \sin^2 \alpha}{3 \sin^2 \alpha}}$. 5) $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot SD = \frac{3a^2}{4} \sqrt{\frac{4 - 3 \sin^2 \alpha}{3 \sin^2 \alpha}}$. 6) $S_{полн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2}{4} \sqrt{\frac{4 - 3 \sin^2 \alpha}{3 \sin^2 \alpha}}$. **Ответ: $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} (1 + \sqrt{\frac{4 - 3 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}})$**.