В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

1. **Доказательство теоремы о сумме углов треугольника**: Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Проведём через вершину $B$ прямую $a$, параллельную стороне $AC$. При параллельных прямых $a$ и $AC$ и секущей $AB$ накрест лежащие углы равны: $\angle 1 = \angle 4$. Аналогично, при секущей $BC$ накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle 5$. Углы $\angle 4$, $\angle 2$ и $\angle 5$ образуют развёрнутый угол с вершиной $B$, поэтому $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^{\circ}$. Заменяя $\angle 4$ на $\angle 1$ и $\angle 5$ на $\angle 3$, получаем: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$. 2. **Понятия**: - **Перпендикуляр** к прямой — это отрезок прямой, проведённый из точки к данной прямой под углом $90^{\circ}$. Его конец называется основанием перпендикуляра. - **Наклонная** — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой и не являющийся перпендикуляром. - **Расстояние от точки до прямой** — это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. 3. **Задача**: В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, также является медианой (по свойству равнобедренного треугольника). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. $h = \frac{1}{2} c = \frac{42}{2} = 21$ см. **Ответ: 21 см.**