На рисунке для пары параллельных прямых AB и CD проведены секущие KL и MN, пересекающие прямую AB в точке O1, а прямую CD в точках O2 и O3 соответственно. Угол MO1K равен 23°, угол MO3D равен 118°. Найдите угол α.

1. Рассмотрим угол $\angle MO_3D = 118^\circ$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны по условию ($AB \parallel CD$), а прямая $MN$ является для них секущей. Углы $\angle AO_1O_3$ и $\angle MO_3D$ являются соответственными при этих параллельных прямых и секущей $MN$. По свойству параллельных прямых: $\angle AO_1O_3 = \angle MO_3D = 118^\circ$. 2. Углы $\angle AO_1O_3$ и $\angle BO_1O_3$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Вычислим $\angle BO_1O_3$: $\angle BO_1O_3 = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$. 3. Углы $\angle MO_1K$ и $\angle LO_1N$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов: $\angle LO_1N = \angle MO_1K = 23^\circ$. 4. Угол $\alpha$ (это $\angle CO_2L$) равен углу $\angle AO_1L$ как соответственный при $AB \parallel CD$ и секущей $KL$. Угол $\angle AO_1L$ в свою очередь равен углу $\angle BO_1K$ как вертикальный. 5. Однако проще найти $\alpha$ через треугольник или смежные углы. Заметим, что $\angle AO_1K = 180^\circ - \angle AO_1O_3 - \angle MO_1K$ (если они лежат на одной прямой $MN$), но по чертежу видно, что $\angle AO_1N$ — развернутый. 6. Угол $\angle AO_2K$ (соответствующий $\alpha$) равен углу $\angle BO_1L$ как накрест лежащий. 7. Из рисунка видно, что искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle CO_2O_1$. Он равен углу $\angle BO_1O_2$ как накрест лежащий при $AB \parallel CD$ и секущей $KL$. 8. Угол $\angle BO_1O_2 = \angle BO_1N - \angle LO_1N$. Так как $\angle BO_1N = \angle AO_1M$ (вертикальные), а $\angle AO_1M = 180^\circ - \angle AO_1O_3 = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$. Тогда $\angle BO_1O_2 = 62^\circ + 23^\circ = 85^\circ$ (согласно расположению лучей на чертеже $\alpha$ — это внешний угол для треугольника, образованного секущими и прямой $AB$). 9. Посмотрим иначе: $\alpha$ и $\angle KO_1B$ — соответственные. $\angle KO_1B = \angle MO_1K + \angle MO_1B$. $\angle MO_1B = \angle AO_1N$ (вертикальные). $\angle AO_1N = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$. Тогда $\alpha = 23^\circ + 62^\circ = 85^\circ$. **Ответ: 85**.