Из точки B к плоскости $\alpha$ провели наклонные BA и BC, образующие с этой плоскостью углы $60^{\circ}$ и $30^{\circ}$ соответственно, BA = $2\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние между точками A и C, если угол между проекциями наклонных равен $120^{\circ}$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наклонной $BA$, её проекцией и перпендикуляром $BH$ к плоскости $\alpha$. Так как угол между $BA$ и плоскостью равен $60^{\circ}$, то: $BH = BA \cdot \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$ см. $AH = BA \cdot \cos 60^{\circ} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наклонной $BC$, её проекцией $CH$ и перпендикуляром $BH$. Высота $BH$ общая и равна 3 см. Угол между $BC$ и плоскостью равен $30^{\circ}$: $CH = \frac{BH}{\text{tg} 30^{\circ}} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см. 3. Рассмотрим треугольник $AHC$ в плоскости $\alpha$. Нам известны стороны $AH = \sqrt{3}$ см, $CH = 3\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle AHC = 120^{\circ}$. По теореме косинусов найдем $AC$: $AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos 120^{\circ}$ $AC^2 = (\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-0,5)$ $AC^2 = 3 + 27 + 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 0,5 = 30 + 9 = 39$ $AC = \sqrt{39}$ см. **Ответ: $\sqrt{39}$ см.**