1. Две десятичные дроби обладают интересным свойством. Целая часть одной дроби равна дробной части другой дроби. Если эти дроби сложить, то получится целое число. Приведите пример таких двух дробей. 2. Петя написал на доске три различные цифры. Вася выбрал пару цифр и сложил их. Сумма этих цифр оказалась равна пяти. Коля выбрал другую пару цифр и тоже сложил их. Сумма оказалась равной трем. Чему может равняться сумма всех написанных Петей цифр? 3. Между дробями 1/7 и 1/6 «спрятана» дробь, у которой сумма числителя и знаменателя равна 97. Найдите эту дробь. 4. Число называется палиндромом, если оно читается одинаково слева направо и справа налево. Например, число 1572751 является палиндромом. Сколькими способами можно переставить цифры в этом числе, чтобы оно оставалось палиндромом?

1. Пусть первая дробь будет $1,4$, а вторая — $2,6$. У первой дроби целая часть $1$ равна дробной части второй дроби $0,6$? Нет, нужно подобрать точнее. Возьмём $1,2$ и $0,8$. У первой дроби целая часть $1$, у второй дробная $0,8$ — не подходит. Условие: целая часть первой ($C_1$) равна дробной части второй ($D_2$), а сумма дробей — целое число. Пусть первая дробь $0,5$. Её целая часть $0$. Значит, дробная часть второй должна быть $0$. Тогда вторая дробь — целое число, например $1,0$. $0,5 + 1,0 = 1,5$ (не целое). Попробуем другой пример: $0,7$ и $0,3$. Целая часть $0,7$ равна $0$. Дробная часть $0,3$ равна $0,3$. Не равно. Правильный пример: $0,5$ и $1,5$. Целая часть $0,5$ равна $0$. Дробная часть $1,5$ равна $0,5$. Не равно. Возьмём $0,5$ и $0,5$. Целая часть первой $0$, дробная второй $0,5$. Не подходит. Пусть первая дробь $1,2$. Целая часть $1$. Значит, дробная часть второй должна быть $0,1$. Чтобы сумма была целой, дробная часть первой ($0,2$) плюс дробная часть второй ($0,1$) должны давать целое число или $0$. Это невозможно для положительных дробных частей. Единственный вариант: дробные части в сумме дают $1$. Пусть первая дробь $0,6$, вторая $0,4$. Целая часть $0,6$ равна $0$. Дробная часть $0,4$ равна $0,4$. Если $C_1 = D_2$ и $(D_1 + D_2)$ — целое, то $D_1 + C_1$ — целое. Так как $D_1$ — дробная часть ($0 \le D_1 < 1$), а $C_1$ — целое, их сумма может быть целой только если $D_1 = 0$. Пример: $1,0$ и $2,1$. Целая часть $1,0$ равна $1$. Дробная часть $2,1$ равна $0,1$. Не равно. Если допустить, что дробная часть может быть равна $0$, то пример: **1,0 и 2,0**. Целая часть первой (1) не равна дробной части второй (0). Верный пример: **0,5 и 0,5**. Целая часть первой — $0$, дробная часть второй — $0,5$. Снова не то. Внимательно: $C_1 = D_2$. Сумма $(C_1 + D_1) + (C_2 + D_2) = I$ (целое). Подставим $D_2$: $C_1 + D_1 + C_2 + C_1 = 2C_1 + C_2 + D_1 = I$. Это возможно, только если $D_1 = 0$. Тогда $D_2 = C_1$. Так как $0 \le D_2 < 1$, то $C_1$ может быть только $0$. Значит, $D_2 = 0$. Пример: **0,0 и 1,0**. Целая часть 0.0 равна 0, дробная часть 1.0 равна 0. Сумма 1.0 — целое число. **Ответ: 0,0 и 1,0**. 2. Петя написал 3 цифры: $a, b, c$. Вася выбрал две, их сумма 5. Коля выбрал две другие, их сумма 3. В наборе из трех цифр всего три пары. Пусть цифры $a, b, c$. Пары: $(a+b), (b+c), (a+c)$. Допустим, $a+b=5$ и $b+c=3$. Вычтем уравнения: $a-c=2 \Rightarrow a = c+2$. Сумма всех цифр $S = a+b+c = (a+b)+c = 5+c$. Также $S = a+(b+c) = a+3$. Поскольку цифры различные, проверим варианты для $c$: Если $c=0$, то $a=2$. Тогда из $b+c=3$ следует $b=3$. Цифры: $2, 3, 0$. Сумма $2+3+0=5$. Проверим пары: $2+3=5$ (Вася), $3+0=3$ (Коля). Подходит. Если $c=1$, то $a=3$. Тогда из $b+c=3$ следует $b=2$. Цифры: $3, 2, 1$. Сумма $3+2+1=6$. Пары: $3+2=5$, $2+1=3$. Подходит. Если $c=2$, то $a=4, b=1$. Сумма $4+1+2=7$. Пары: $4+1=5, 1+2=3$. Подходит. Если $c=3$, то $a=5, b=0$. Сумма $5+0+3=8$. Пары: $5+0=5, 0+3=3$. Подходит. Если $c=4$, то $a=6, b=-1$ (не цифра). **Ответ: 5, 6, 7 или 8**. 3. Пусть дробь $\frac{x}{y}$. По условию $x+y=97$, значит $y=97-x$. Дробь должна быть между $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{7} < \frac{x}{97-x} < \frac{1}{6}$ 1) $\frac{1}{7} < \frac{x}{97-x} \Rightarrow 97-x < 7x \Rightarrow 97 < 8x \Rightarrow x > 12,125$ 2) $\frac{x}{97-x} < \frac{1}{6} \Rightarrow 6x < 97-x \Rightarrow 7x < 97 \Rightarrow x < 13,857$ Целое число $x$ в этом интервале только $13$. Если $x=13$, то $y=97-13=84$. Проверка: $\frac{1}{7} = \frac{12}{84}$, $\frac{1}{6} = \frac{14}{84}$. Дробь $\frac{13}{84}$ находится между ними. **Ответ: 13/84**. 4. Число 1572751 — палиндром. В нем цифры: две '1', две '5', две '7' и одна '2'. Чтобы число оставалось палиндромом, цифра '2' обязана стоять в центре (на 4-м месте). Слева от центра 3 позиции. На них нужно расставить по одной цифре из пар {1, 5, 7}. Правая часть будет зеркальным отражением левой. Количество способов переставить 3 разные цифры на 3 местах равно $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Эти комбинации: (1,5,7), (1,7,5), (5,1,7), (5,7,1), (7,1,5), (7,5,1). Каждая дает уникальный палиндром: 1572751, 1752571, 5172715, 5712175, 7152517, 7512157. **Ответ: 6 способов**.