Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 - 3x^2 - x^3

Question

Вопрос:

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 - 3x^2 - x^3

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Исследуем функцию $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$ по алгоритму: 1. **Область определения**: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная**: $f'(x) = (1 - 3x^2 - x^3)' = -6x - 3x^2$. 3. **Критические точки**: $-6x - 3x^2 = 0$ $-3x(2 + x) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. 4. **Промежутки монотонности и экстремумы**: - На интервале $(-\infty; -2)$: $f'(-3) = -6(-3) - 3(-3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$ — функция убывает. - На интервале $(-2; 0)$: $f'(-1) = -6(-1) - 3(-1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0$ — функция возрастает. - На интервале $(0; +\infty)$: $f'(1) = -6(1) - 3(1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0$ — функция убывает. $x = -2$ — точка минимума: $f(-2) = 1 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 1 - 12 + 8 = -3$. $x = 0$ — точка максимума: $f(0) = 1 - 3(0)^2 - (0)^3 = 1$. 5. **Вторая производная и точки перегиба**: $f''(x) = -6 - 6x$. $-6 - 6x = 0 \Rightarrow x = -1$. При $x < -1$ $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз), при $x > -1$ $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх). $f(-1) = 1 - 3(-1)^2 - (-1)^3 = 1 - 3 + 1 = -1$ — точка перегиба $(-1; -1)$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** Функция убывает на $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$, возрастает на $[-2; 0]$. Точки экстремума: $\min(-2; -3)$, $\max(0; 1)$.

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 - 3x^2 - x^3

Ответ ассистента

Другие решения