Дано выражение (2019 * 217 * 20 * 19 * 8) / (2018 * 101 * 20 * 18 * 11). Можно ли вместо звёздочек поставить знаки «+» и «-» так, чтобы после вычислений получилось: а) 7/6; б) 11/9?

Для решения задачи проанализируем чётность результата выражения: $\frac{2019 * 217 * 20 * 19 * 8}{2018 * 101 * 20 * 18 * 11}$ Заметим, что в числителе и знаменателе стоят произведения пяти чисел. Чтобы понять, какой результат получится при замене каждой «$*$» на «$+$» или «$-$», нужно вспомнить правило: чётность суммы или разности нескольких чисел зависит только от количества нечётных чисел в выражении. 1. Рассмотрим числитель: $2019$ (н), $217$ (н), $20$ (ч), $19$ (н), $8$ (ч). Здесь 3 нечётных числа. Сумма/разность любого количества чётных чисел и нечётного количества нечётных чисел всегда будет **нечётным** числом. 2. Рассмотрим знаменатель: $2018$ (ч), $101$ (н), $20$ (ч), $18$ (ч), $11$ (н). Здесь 2 нечётных числа. Сумма/разность любого количества чётных чисел и чётного количества нечётных чисел всегда будет **чётным** числом. Таким образом, после расстановки знаков «$+$» и «$-$» мы всегда будем получать дробь вида $\frac{\text{нечётное}}{\text{чётное}}$. а) Можно ли получить $7/6$? В дроби $7/6$ числитель ($7$) — нечётный, а знаменатель ($6$) — чётный. Это соответствует нашему выводу. Попробуем подобрать знаки: Числитель: $2019 - 217 - 20 - 19 - 8 = 1755$ (не подходит) Попробуем иначе: $2019 - 217 + 20 - 19 - 8 = 1795$ На самом деле, для ответа «да» достаточно одного примера. Заметим, что $2019 + 217 + 20 + 19 + 8 = 2283$. Однако, $\frac{7}{6} = \frac{7k}{6k}$. Числа в выражении слишком велики, чтобы получить малые значения вроде $7$ и $6$ простым сложением/вычитанием. Но главное — чётность. При любых знаках числитель будет нечётным, а знаменатель чётным. Сократимая дробь $7/6$ после сокращения на $k$ должна сохранять это свойство. Если мы сократим нашу дробь $\frac{Н}{Ч}$ на $k$, то: - если $k$ чётное, числитель не может быть целым ($Н/Ч \neq целое$); - если $k$ нечётное, то $\frac{Н}{Ч}$ останется дробью вида $\frac{нечётное}{чётное}$. Дробь $7/6$ как раз такая. Но из-за большой разницы в значениях чисел (порядка $2000$) и малого результата ($1.16...$) это невозможно. **Ответ а): нет.** Разность между самым большим числом ($2019$) и суммой остальных ($217+20+19+8 = 264$) слишком велика: $2019 - 264 = 1755$. Минимальное значение числителя по модулю будет $1755$, а знаменателя (аналогично $2018 - (101+20+18+11) = 1868$) будет $1868$. Дробь $\frac{1755}{1868}$ и близко не равна $7/6$. б) Можно ли получить $11/9$? У дроби $11/9$ числитель ($11$) — нечётный, а знаменатель ($9$) — **нечётный**. Как мы выяснили выше, при любых знаках «$+$» и «$-$» знаменатель нашего выражения всегда будет **чётным** (так как в нём 2 нечётных числа: $101$ и $11$). При сокращении дроби $\frac{нечётное}{чётное}$ на любое целое число нельзя получить дробь $\frac{нечётное}{нечётное}$, так как чётное число при делении на нечётное остаётся чётным, а на чётное — не даст целого числа в нечётном числителе. **Ответ б): нет.** Знаменатель всегда будет чётным, а в дроби $11/9$ знаменатель нечётный. **Ответ: а) нет; б) нет.**