Дано, что DB — биссектриса угла ABC. DA ⊥ BA и CB ⊥ EC. Найди EB, если DA = 6 см, BA = 8 см, EC = 4,2 см.

Question

Вопрос:

Дано, что DB — биссектриса угла ABC. DA ⊥ BA и CB ⊥ EC. Найди EB, если DA = 6 см, BA = 8 см, EC = 4,2 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $BAD$ и $BCE$. По условию $DA \perp BA$, значит $\angle A = 90^{\circ}$. Также дано $CB \perp EC$, значит $\angle C = 90^{\circ}$. 2. Отрезок $DB$ — биссектриса угла $ABC$, следовательно, $\angle CBE = \angle DBA$. 3. Треугольники $BCE$ и $BAD$ подобны по двум углам (первый признак подобия): $\angle C = \angle A = 90^{\circ}$ и $\angle CBE = \angle DBA$. 4. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{BC}{BA} = \frac{CE}{AD} = \frac{EB}{BD}$ Сначала найдём гипотенузу $BD$ в треугольнике $BAD$ по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{BA^2 + DA^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см. 5. Используем отношение $\frac{CE}{AD} = \frac{EB}{BD}$: $\frac{4,2}{6} = \frac{EB}{10}$ $EB = \frac{4,2 \cdot 10}{6} = \frac{42}{6} = 7$ см. Заполнение пропусков в тексте задания: $\angle A = \angle C = 90^{\circ}$ $\angle CBE = \angle DBA$, т. к. $DB$ — биссектриса $\triangle BCE \sim \triangle BAD$ **Ответ: 7 см**

Дано, что DB — биссектриса угла ABC. DA ⊥ BA и CB ⊥ EC. Найди EB, если DA = 6 см, BA = 8 см, EC = 4,2 см.

Ответ ассистента

Другие решения