На рисунке 311, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a3 — сторона треугольника, P — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Для заполнения таблицы воспользуемся формулами для правильного (равностороннего) треугольника: 1. Связь стороны $a_3$ и радиуса описанной окружности $R$: $a_3 = R\sqrt{3}$. 2. Связь радиуса вписанной окружности $r$ и радиуса описанной окружности $R$: $r = \frac{R}{2}$. 3. Периметр: $P = 3a_3$. 4. Площадь: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$. **Решение по строкам:** 1. **Дано $R = 3$**: $r = \frac{3}{2} = 1,5$; $a_3 = 3\sqrt{3}$; $P = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$; $S = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6,75\sqrt{3}$. 2. **Дано $S = 10$**: $10 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_3 = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}$; $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{3^{3/4}}$; $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{10}}{3^{3/4}}$; $P = 3a_3 = \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}$. 3. **Дано $r = 2$**: $R = 2r = 4$; $a_3 = 4\sqrt{3}$; $P = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$; $S = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$. 4. **Дано $a_3 = 5$**: $R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$; $r = \frac{5\sqrt{3}}{6}$; $P = 3 \cdot 5 = 15$; $S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} = 6,25\sqrt{3}$. 5. **Дано $P = 6$**: $a_3 = \frac{6}{3} = 2$; $R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$; $r = \frac{\sqrt{3}}{3}$; $S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. **Заполненная таблица:** | N | $R$ | $r$ | $a_3$ | $P$ | $S$ | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 3 | 1,5 | $3\sqrt{3}$ | $9\sqrt{3}$ | $6,75\sqrt{3}$ | | 2 | $\frac{2\sqrt{10}}{3^{3/4}}$ | $\frac{\sqrt{10}}{3^{3/4}}$ | $\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}$ | $\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}$ | 10 | | 3 | 4 | 2 | $4\sqrt{3}$ | $12\sqrt{3}$ | $12\sqrt{3}$ | | 4 | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{5\sqrt{3}}{6}$ | 5 | 15 | $6,25\sqrt{3}$ | | 5 | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 2 | 6 | $\sqrt{3}$ |