В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 19. Найди NP.

Question

Вопрос:

В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 19. Найди NP.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим развёрнутый угол $MK$, вершина которого — точка $P$. Он состоит из углов $\angle MPN$ и $\angle NPK$. Их сумма равна $180^{\circ}$. 2. По условию, $PT$ — биссектриса $\angle MPN$. Значит, $\angle TPN = \frac{1}{2} \angle MPN$. 3. В треугольнике $NKP$ проведена высота $PQ$ к стороне $NK$. Это значит, что $\angle PQN = 90^{\circ}$. Однако в условии сказано, что $\angle TPQ = 90^{\circ}$. 4. Заметим, что $\angle TPQ = \angle TPN + \angle NPQ = 90^{\circ}$. 5. Поскольку $PQ$ — высота в $\triangle NKP$, а $\angle TPQ = 90^{\circ}$, то линия $PQ$ перпендикулярна $PT$. 6. В прямоугольном треугольнике $NPQ$ (где $\angle PQN = 90^{\circ}$) и из геометрии смежных углов следует, что если биссектриса одного угла и высота к стороне другого образуют прямой угол при общей вершине на прямой, то треугольник $NPK$ является равнобедренным с основанием $NK$, где $NP = PK$. 7. Так как $PK = 19$, то $NP = 19$. **Ответ: 19**

Ответ ассистента

Другие решения