Обоснуйте выбранное решение. 7 класс. Практическая работа Вариант 1.

Для решения задач на поиск минимального количества кусков проволоки или обход рёбер графа используется теория графов (признаки существования Эйлерова пути). 1. В икосаэдре 30 рёбер и 12 вершин. В каждой вершине сходятся 5 рёбер (степень вершины — 5). По теории графов, если у графа более двух нечётных вершин, его нельзя обойти, не проходя по рёбрам дважды. Чтобы вернуться в исходную точку, нужно, чтобы все вершины стали чётными. Для этого к каждой из 12 нечётных вершин нужно добавить «лишнее» ребро (пройти его второй раз). Минимально нужно добавить $12 / 2 = 6$ рёбер. Ответ: 6. 2. У усечённой четырёхугольной пирамиды 8 вершин, в каждой сходятся 3 ребра (все вершины нечётные). Чтобы минимизировать количество кусков, нужно найти количество нечётных вершин $V_{odd}$ и разделить на 2. Количество кусков $k = V_{odd} / 2 = 8 / 2 = 4$. Ответ: 4. 3. Додекаэдр имеет 20 вершин, и в каждой сходятся 3 ребра. Так как есть вершины с нечётной степенью (их больше двух), обойти все рёбра ровно по одному разу невозможно (Эйлерова цикла не существует). Ответ: Нет. 4. Абажур представляет собой каркас усечённой пирамиды (или конуса с аппроксимацией). На рисунке усечённая четырёхугольная пирамида (как в задаче 2). У неё 8 нечётных вершин. Минимальное количество кусков: $8 / 2 = 4$. Ответ: 4. 5. Октаэдр имеет 12 рёбер по 4 см каждое. У октаэдра 6 вершин, в каждой сходятся 4 ребра. Все вершины чётные (степень 4). Значит, весь октаэдр можно нарисовать (согнуть из проволоки) одним неразрывным куском, не проходя по рёбрам дважды. Длина проволоки равна сумме длин всех рёбер: $12 \times 4 = 48$ см. Ответ: 48.