Из точки M, лежащей вне прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30◦ и 45◦ соответственно. Найдите наклонную MK, если проекция наклонной MN на прямую l равна 4 √ 3 см.

Question

Вопрос:

Из точки M, лежащей вне прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30◦ и 45◦ соответственно. Найдите наклонную MK, если проекция наклонной MN на прямую l равна 4 √ 3 см.

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи построим высоту $MH$ из точки $M$ к прямой $l$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра, а отрезки $NH$ и $KH$ — проекциями наклонных $MN$ и $MK$ на прямую $l$. 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle MNH$ ($\angle MHN = 90^\circ$): По условию $\angle MNH = 30^\circ$ и проекция $NH = 4\sqrt{3}$ см. Используем определение тангенса или котангенса: $MH = NH \cdot \text{tg } 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ (см). 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle MKH$ ($\angle MHK = 90^\circ$): По условию $\angle MKH = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике с углом $45^\circ$ катеты равны ($MH = KH = 4$ см), а гипотенуза $MK$ находится по формуле: $MK = \frac{MH}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ (см). **Ответ: $4\sqrt{2}$ см.**

Ответ ассистента

Другие решения