Задача №1. В треугольнике АВС угол С прямой, а угол А равен 30°. Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярная плоскости треугольника, АС=18см, СМ=12см. Найдите: а) расстояние от точки М до прямой АВ; б) двугранный угол МАВС; в) угол между прямой МВ и плоскостью треугольника. Задача №2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание A1B1C1D1 - квадрат, DC=3, B1D = √23. Найдите АА1.

### Задача №1 **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 18$ см. $CM \perp (ABC)$, $CM = 12$ см. **Найти:** а) $\rho(M, AB)$; б) $\angle MABC$; в) $\angle(MB, (ABC))$. **Решение:** 1. Проведем высоту $CH$ в $\triangle ABC$ к гипотенузе $AB$. По теореме о трех перпендикулярах $MH \perp AB$, значит, $MH$ — расстояние от $M$ до $AB$. 2. В $\triangle ABC$: $CH = AC \cdot \sin A = 18 \cdot \sin 30^\circ = 18 \cdot 0,5 = 9$ (см). 3. Из прямоугольного $\triangle MCH$ по теореме Пифагора: $MH = \sqrt{CM^2 + CH^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ (см). 4. Двугранный угол $MABC$ — это линейный угол $\angle MHC$ (так как $CH \perp AB$ и $MH \perp AB$): $\tan \angle MHC = \frac{CM}{CH} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \angle MHC = \arctan \frac{4}{3}$. 5. Угол между прямой $MB$ и плоскостью $(ABC)$ — это $\angle MBC$. В $\triangle ABC$: $BC = AC \cdot \tan 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см. 6. Из прямоугольного $\triangle MCB$: $\tan \angle MBC = \frac{CM}{BC} = \frac{12}{6\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. $\angle MBC = \arctan \frac{2\sqrt{3}}{3}$. **Ответ:** а) 15 см; б) $\arctan \frac{4}{3}$; в) $\arctan \frac{2\sqrt{3}}{3}$. ### Задача №2 **Дано:** прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, $DC = 3$, $B_1D = \sqrt{23}$. **Найти:** $AA_1$. **Решение:** 1. Так как в основании квадрат, то $AB = BC = CD = DA = 3$. 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ связана с его измерениями $a, b, c$ формулой $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. 3. Пусть высота $AA_1 = h$. Тогда $B_1D^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2$. 4. $(\sqrt{23})^2 = 3^2 + 3^2 + h^2 \Rightarrow 23 = 9 + 9 + h^2 \Rightarrow 23 = 18 + h^2$. 5. $h^2 = 23 - 18 = 5 \Rightarrow h = \sqrt{5}$. **Ответ: $\sqrt{5}$.**