Контрольные вопросы: 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?

1. **Доказательство того, что две прямые, параллельные третьей, параллельны:** Предположим, что прямые $a$ и $b$ параллельны прямой $c$ ($a ∥ c$ и $b ∥ c$), но не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке $M$. Получается, что через точку $M$ проходят две разные прямые ($a$ и $b$), параллельные прямой $c$. Однако по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит, наше предположение неверно, и $a ∥ b$. 2. **Внутренние односторонние и накрест лежащие углы:** При пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуются пары углов: - **Внутренние односторонние:** углы, которые лежат по одну сторону от секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$. - **Внутренние накрест лежащие:** углы, которые лежат по разные стороны от секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$. 3. **Доказательство свойств углов:** Если внутренние накрест лежащие углы равны ($∠1 = ∠2$), то по признаку параллельности прямые параллельны. Если прямые параллельны, то: - Другая пара накрест лежащих углов также будет равна. - Сумма внутренних односторонних углов будет равна $180^∘$, так как один из них является смежным с углом, равным накрест лежащему. 4. **Признаки параллельности прямых:** Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей: - Внутренние накрест лежащие углы равны. - Соответственные углы равны. - Сумма внутренних односторонних углов равна $180^∘$. 5. **Соответственные углы:** - **Определение:** это углы, которые лежат по одну сторону от секущей, причем один из них во внутренней области (между прямыми), а другой — во внешней. - **Доказательство:** если накрест лежащие углы равны, то соответственные равны как вертикальные к ним (или смежные). И наоборот. 6. **Аксиома параллельных:** Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести **только одну** прямую, параллельную данной. Это утверждение является аксиомой (постулатом Евклида).