Вариант 2. Ответьте на вопросы в заданиях 1 - 2. В треугольниках MNK и M1N1K1... 2. Подобны ли два треугольника, если у одного треугольника два угла равны 48 и 54 градуса, а у другого - 78 и 54 градуса? 3. В треугольнике CDE PK || CD... 4. В треугольниках ABC и A1B1C1 известно... 5. Алгоритм решения задачи на нахождение высоты реального объекта.

1. Третий признак подобия треугольников гласит: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. У тебя уже есть отношение двух пар сторон: $\frac{MN}{M_1N_1} = \frac{NK}{N_1K_1} = k$. Чтобы треугольники стали подобны по третьему признаку, нужно добавить отношение третьей пары сторон. **Ответ:** $\frac{MK}{M_1K_1} = k$. 2. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. В первом треугольнике третий угол равен: $180^{\circ} - (48^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$. Получаем, что углы первого треугольника ($48^{\circ}$, $54^{\circ}$, $78^{\circ}$) равны углам второго треугольника ($78^{\circ}$, $54^{\circ}$ и, следовательно, $48^{\circ}$). **Ответ:** Да, треугольники подобны по первому признаку (по двум углам). 3. 1) В треугольнике $CDE$ прямая $PK \parallel CD$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $EPK$ и $ECD$ по двум углам), параллельная прямая отсекает на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно, $\frac{CE}{DE} = \frac{PK}{CD}$ не совсем то, что в условии. Уточним: так как $\triangle EPK \sim \triangle ECD$, то $\frac{EC}{EP} = \frac{ED}{EK} = \frac{CD}{PK}$. Из $\frac{EC}{EP} = \frac{ED}{EK}$ следует $\frac{CE}{DE} = \frac{EP}{EK}$. 2) Из подобия $\frac{EP}{EC} = \frac{PK}{CD}$. $EC = CP + EP = 3 + 5 = 8$ см. $\frac{5}{8} = \frac{PK}{24} \Rightarrow PK = \frac{5 \cdot 24}{8} = 5 \cdot 3 = 15$ см. **Ответ: 15 см**. 4. Проверим отношение сторон, прилежащих к равным углам: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{15}{5} = 3$ $\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{27}{9} = 3$ Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = 3$) и углы между ними равны ($\angle A = \angle A_1$), то треугольники подобны по второму признаку подобия. **Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($k=3$).** 5. Алгоритм нахождения высоты объекта (например, дерева) по тени: 1. Измерь длину тени объекта ($L$). 2. Поставь рядом шест известной высоты ($h$) и измерь длину его тени ($l$). 3. Так как солнечные лучи падают под одним углом, прямоугольные треугольники, образованные объектами и их тенями, подобны по двум углам. 4. Составь пропорцию: $\frac{H}{h} = \frac{L}{l}$, где $H$ — искомая высота объекта. 5. Вычисли высоту: $H = \frac{L \cdot h}{l}$.