Отрезки KE и MN пересекаются в точке O, так что отрезок KM параллелен отрезку NE. Докажите, что треугольники KMO и NEO подобны. Найдите KM, если ON=6см, MO=12см, NE=18см.

### Решение задачи №1 **Дано:** $KE \cap MN = O$, $KM \parallel NE$, $ON = 6\text{ см}$, $MO = 12\text{ см}$, $NE = 18\text{ см}$. **Доказать:** $\triangle KMO \sim \triangle NEO$. **Найти:** $KM$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle KMO$ и $\triangle NEO$: - $\angle KOM = \angle EON$ как вертикальные; - $\angle MKO = \angle NEO$ как накрест лежащие при параллельных прямых $KM$ и $NE$ и секущей $KE$. 2. Следовательно, $\triangle KMO \sim \triangle NEO$ по двум углам (I признак подобия). **Нахождение KM:** Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: $\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON}$ $\frac{KM}{18} = \frac{12}{6}$ $\frac{KM}{18} = 2$ $KM = 18 \cdot 2 = 36\text{ (см)}$. **Ответ:** 36 см. *** ### Решение задачи №2 **Дано:** $\triangle ABC \sim \triangle KMT$, $AB=4\text{ см}$, $BC=6\text{ см}$, $CA=8\text{ см}$, $k = \frac{KM}{AB} = 1,6$. **Найти:** стороны $\triangle KMT$, отношение площадей $\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}}$. **Решение:** 1. Находим стороны $\triangle KMT$ через коэффициент подобия $k=1,6$: $KM = AB \cdot k = 4 \cdot 1,6 = 6,4\text{ (см)}$ $MT = BC \cdot k = 6 \cdot 1,6 = 9,6\text{ (см)}$ $TK = CA \cdot k = 8 \cdot 1,6 = 12,8\text{ (см)}$ 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = k^2 = 1,6^2 = 2,56$. **Ответ:** 6,4 см, 9,6 см, 12,8 см; отношение площадей 2,56. *** ### Решение задачи №3 **Дано:** $\triangle ABC$, $K \in AB$, $E \in BC$, $AK=KB$, $BE=CE$, $KE=6\text{ см}$. **Найти:** $AC$. **Решение:** 1. Так как $AK=KB$, точка $K$ — середина стороны $AB$. 2. Так как $BE=CE$, точка $E$ — середина стороны $BC$. 3. Следовательно, $KE$ — средняя линия $\triangle ABC$ по определению. 4. По свойству средней линии треугольника: $KE = \frac{1}{2} AC$. $AC = 2 \cdot KE = 2 \cdot 6 = 12\text{ (см)}$. **Ответ:** 12 см. *** ### Решение задачи №4 **Дано:** рост человека $h = 1,7\text{ м}$, расстояние до столба $d = 8$ шагов, тень $s = 4$ шага. **Найти:** высоту столба $H$. **Решение:** 1. Столб с фонарём, человек и лучи света образуют два подобных прямоугольных треугольника (по общему острому углу у конца тени). 2. Высота столба $H$ относится к росту человека $h$, так же как расстояние от фонаря до конца тени $(d+s)$ относится к длине тени $s$: $\frac{H}{1,7} = \frac{8 + 4}{4}$ $\frac{H}{1,7} = \frac{12}{4}$ $\frac{H}{1,7} = 3$ $H = 1,7 \cdot 3 = 5,1\text{ (м)}$. **Ответ:** 5,1 м.