1. Отрезки KE и MN пересекаются в точке O, так что отрезок KM параллелен отрезку NE. Докажите, что треугольники KMO и NEO подобны. Найдите KM, если ON=6см, MO=12см, NE=18см.

### 1 ВАРИАНТ **1. Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle KMO$ и $\triangle NEO$: - $\angle KOM = \angle NOE$ (как вертикальные); - $\angle MKO = \angle NEO$ (как накрест лежащие при $KM \parallel NE$ и секущей $KE$). Следовательно, $\triangle KMO \sim \triangle NEO$ по двум углам (I признак подобия). Что и требовалось доказать. 2. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{NO} \Rightarrow \frac{KM}{18} = \frac{12}{6} \Rightarrow \frac{KM}{18} = 2 \Rightarrow KM = 18 \cdot 2 = 36$ см. **Ответ: 36 см.** **2. Решение:** 1. Коэффициент подобия $k = \frac{KM}{AB} = 1,6$. 2. Находим стороны $\triangle KMT$: $KM = AB \cdot k = 4 \cdot 1,6 = 6,4$ см; $MT = BC \cdot k = 6 \cdot 1,6 = 9,6$ см; $KT = CA \cdot k = 8 \cdot 1,6 = 12,8$ см. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = k^2 = 1,6^2 = 2,56$. **Ответ: 6,4 см, 9,6 см, 12,8 см; 2,56.** **3. Решение:** 1. Так как $AK=KB$ и $BE=CE$, то точки $K$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. 2. Следовательно, $KE$ — средняя линия $\triangle ABC$. 3. По свойству средней линии треугольника: $KE = \frac{1}{2} AC \Rightarrow AC = 2 \cdot KE = 2 \cdot 6 = 12$ см. **Ответ: 12 см.** **4. Решение:** 1. Ситуация образует два подобных прямоугольных треугольника (фонарь, человек и их тени). 2. Пусть $H$ — высота фонаря, $h = 1,7$ м — рост человека, $L = 8 + 4 = 12$ шагов — расстояние от фонаря до конца тени, $l = 4$ шага — длина тени. 3. Из подобия: $\frac{H}{h} = \frac{L}{l} \Rightarrow \frac{H}{1,7} = \frac{12}{4} \Rightarrow \frac{H}{1,7} = 3 \Rightarrow H = 1,7 \cdot 3 = 5,1$ м. **Ответ: 5,1 м.**