Решение задач с помощью систем уравнений. Вариант 2. 1. Задуманы два натуральных числа. Найдите числа, если их частное равно 3, а их разность равна 6.

1. Пусть $x$ — первое число, $y$ — второе число. Составим систему уравнений: $\begin{cases} x / y = 3 \\ x - y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3y \\ 3y - y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3y \\ 2y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3 \\ x = 9 \end{cases}$ **Ответ: 9 и 3.** 2. Пусть $x$ — цена карандаша, $y$ — цена тетради. Составим систему уравнений: $\begin{cases} 2x + 3y = 35 \\ 3x + 2y = 40 \end{cases}$ Сложим уравнения: $5x + 5y = 75 \Rightarrow x + y = 15 \Rightarrow x = 15 - y$ Подставим в первое: $2(15 - y) + 3y = 35 \Rightarrow 30 - 2y + 3y = 35 \Rightarrow y = 5$ (руб.) — цена тетради. $x = 15 - 5 = 10$ (руб.) — цена карандаша. Найдём стоимость 5 карандашей и 6 тетрадей: $5 \cdot 10 + 6 \cdot 5 = 50 + 30 = 80$ (руб.). **Ответ: 80 рублей.** 3. Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c = 37$ см — гипотенуза. По условию $a - b = 23 \Rightarrow a = 23 + b$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$: $(23 + b)^2 + b^2 = 37^2$ $529 + 46b + b^2 + b^2 = 1369$ $2b^2 + 46b - 840 = 0$ $b^2 + 23b - 420 = 0$ $D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 = 47^2$ $b = (-23 + 47) / 2 = 12$ см (второй корень отрицательный). $a = 23 + 12 = 35$ см. Площадь треугольника: $S = (a \cdot b) / 2 = (35 \cdot 12) / 2 = 35 \cdot 6 = 210$ см$^2$. **Ответ: 210 см$^2$.**