1. Вычислите: а) arcctg (-1) + arctg (sqrt(3)/3) - arcctg 0; б) ctg (arccos (1/sqrt(2))); в) arctg (cos pi); г) ctg (arcctg 4/3). 2. Постройте и прочитайте график функции y = {2 arccos x, x <= 0; arcctg x, x > 0.

1. Вычислите: а) $\text{arcctg}(-1) + \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} - \text{arcctg } 0 = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi + 2\pi - 6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ б) $\text{ctg}\left(\arccos \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \text{ctg } \frac{\pi}{4} = 1$ в) $\text{arctg}(\cos \pi) = \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ г) $\text{ctg}\left(\text{arcctg } \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ 2. Постройте и прочитайте график функции $y = \begin{cases} 2 \arccos x, & x \le 0; \\ \text{arcctg } x, & x > 0. \end{cases}$ Область определения функции складывается из условий для каждой части: - Для первой части $2 \arccos x$ аргумент $x \in [-1; 1]$. С учетом $x \le 0$, получаем $x \in [-1; 0]$. - Для второй части $\text{arcctg } x$ ограничений на $x$ нет, так как $x > 0$. Итого: $D(f) = [-1; +\infty)$. Значения в ключевых точках: - При $x = -1: y = 2 \arccos(-1) = 2\pi \approx 6,28$ - При $x = 0: y = 2 \arccos(0) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \approx 3,14$ - При $x \to 0^+$ (со стороны положительных чисел): $y = \text{arcctg } x \to \frac{\pi}{2} \approx 1,57$ (точка разрыва) - При $x \to +\infty: y = \text{arcctg } x \to 0$ :::div .chart-container @chart-1::: **Свойства функции:** 1. Область определения: $x \in [-1; +\infty)$. 2. Множество значений: $y \in (0; \frac{\pi}{2}) \cup [\pi; 2\pi]$. 3. Функция имеет разрыв первого рода в точке $x = 0$. 4. Функция убывает на всей области определения.