Контрольная работа № 3 по теме «Показательная функция». Вариант 1. Решить уравнения и неравенства.

### Вариант 1 **1. Решить уравнение:** 1) $(\frac{1}{5})^{2-3x} = 25$ $5^{-(2-3x)} = 5^2$ $-2 + 3x = 2$ $3x = 4$ $x = 1\frac{1}{3}$ 2) $4^x + 2^x - 20 = 0$ Пусть $2^x = t, t > 0$. Тогда: $t^2 + t - 20 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 81 = 9^2$ $t_1 = \frac{-1+9}{2} = 4$; $t_2 = \frac{-1-9}{2} = -5$ (не подходит) $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ **Ответ: 1) $1\frac{1}{3}$; 2) 2.** **2. Решить неравенство:** $(\frac{3}{4})^x > 1\frac{7}{9}$ $(\frac{3}{4})^x > \frac{16}{9}$ $(\frac{3}{4})^x > (\frac{4}{3})^2$ $(\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^{-2}$ Так как основание $0 < \frac{3}{4} < 1$, знак меняется: $x < -2$ **Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.** **3. Решить систему уравнений:** $\begin{cases} x - y = 4 \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ Подставим: $3 + y = 2 \Rightarrow y = -1$ **Ответ: (3; -1).** **4. Решить неравенство:** 1) $(\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5}$ $5^{\frac{x-6}{2}} < 5^{-1}$ $\frac{x-6}{2} < -1$ $x - 6 < -2$ $x < 4$ 2) $(2\frac{2}{13})^{x^2-1} \ge 1$ $(\frac{28}{13})^{x^2-1} \ge (\frac{28}{13})^0$ Так как $\frac{28}{13} > 1$, знак сохраняется: $x^2 - 1 \ge 0$ $(x-1)(x+1) \ge 0$ **Ответ: 1) $(-\infty; 4)$; 2) $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.** **5. Решить уравнение:** $7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x$ $7 \cdot 7^x + 3 \cdot 7^x = 32 \cdot 2^x + 3 \cdot 2^x$ $10 \cdot 7^x = 35 \cdot 2^x$ | $: 2^x$ $10 \cdot (\frac{7}{2})^x = 35$ $(\frac{7}{2})^x = 3.5$ $(\frac{7}{2})^x = \frac{7}{2} \Rightarrow x = 1$ **Ответ: 1.**