13.9. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы. 13.10. Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Question

Вопрос:

13.9. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы. 13.10. Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

13.9. Пусть из точки $M$, не лежащей в плоскости $\alpha$, проведены две равные наклонные $MB$ и $MC$ ($MB = MC$). Проведём перпендикуляр $MA$ к плоскости $\alpha$. Тогда $AB$ и $AC$ — проекции этих наклонных на плоскость. 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ (углы $\angle MAB = \angle MAC = 90^\circ$, так как $MA \perp \alpha$). 2. В этих треугольниках гипотенузы равны ($MB = MC$ по условию), а катет $MA$ — общий. 3. Следовательно, $\triangle MAB = \triangle MAC$ по катету и гипотенузе. 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle MBA = \angle MCA$. Эти углы и являются углами между наклонными и плоскостью. Что и требовалось доказать. 13.10. Пусть из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MB$ и $MC$, и перпендикуляр $MA$. Углы между наклонными и плоскостью равны: $\angle MBA = \angle MCA = \varphi$. 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$. 2. В них катет $MA$ — общий, а углы $\angle MBA$ и $\angle MCA$ равны по условию. 3. Треугольники равны по катету и противолежащему острому углу (или через определение синуса: $MB = \frac{MA}{\sin \varphi}$ и $MC = \frac{MA}{\sin \varphi}$). 4. Так как правые части выражений для $MB$ и $MC$ одинаковы, то $MB = MC$. Что и требовалось доказать.

Ответ ассистента

Другие решения