### Вариант 1
**I**
1. Дано: $V = 10\text{ см}^3 = 10^{-5}\text{ м}^3$, $\rho_{\text{кер}} = 800\text{ кг/м}^3$, $g \approx 10\text{ Н/кг}$.
$F_A = \rho_{\text{кер}} g V = 800 \cdot 10 \cdot 10^{-5} = 0,08\text{ Н}$.
**Ответ: 0,08 Н**.
2. Дано: $F_A = 500\text{ Н}$, $\rho_{\text{в}} = 1000\text{ кг/м}^3$, $g \approx 10\text{ Н/кг}$.
$V = \frac{F_A}{\rho_{\text{в}} g} = \frac{500}{1000 \cdot 10} = 0,05\text{ м}^3$.
**Ответ: 0,05 м$^3$**.
3. Чтобы удержать тело в воде, нужно приложить силу $F = P - F_A$, где $P$ — вес в воздухе, $F_A$ — выталкивающая сила.
Дано: $m = 270\text{ г} = 0,27\text{ кг}$, $V = 30\text{ см}^3 = 3 \cdot 10^{-5}\text{ м}^3$.
$P = mg = 0,27 \cdot 10 = 2,7\text{ Н}$.
$F_A = \rho_{\text{в}} g V = 1000 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 10^{-5} = 0,3\text{ Н}$.
$F = 2,7 - 0,3 = 2,4\text{ Н}$.
**Ответ: 2,4 Н**.
**II**
4. Изменение веса парохода равно весу вытесненной воды: $m_{\text{гр}} g = \rho_{\text{в}} g \Delta V$, где $\Delta V = S \cdot h$.
$m_{\text{гр}} = \rho_{\text{в}} \cdot S \cdot h = 1000 \cdot 3000 \cdot 2 = 6\,000\,000\text{ кг} = 6000\text{ т}$.
**Ответ: 6000 т**.
5. Суммарная сила тяжести системы (оболочка + нефть) должна быть компенсирована силой Архимеда и силой удерживающего груза. Предположим, нужно найти вес груза $P_{\text{гр}}$, чтобы система не всплыла.
Дано: $V = 250\text{ м}^3$, $\rho_{\text{нефт}} \approx 800\text{ кг/м}^3$, $m_{\text{об}} = 4000\text{ кг}$.
$F_A = \rho_{\text{в}} g V = 1000 \cdot 10 \cdot 250 = 2\,500\,000\text{ Н}$.
$P_{\text{сист}} = (m_{\text{об}} + \rho_{\text{нефт}} V) g = (4000 + 800 \cdot 250) \cdot 10 = (4000 + 200\,000) \cdot 10 = 2\,040\,000\text{ Н}$.
Сила груза $F = F_A - P_{\text{сист}} = 2\,500\,000 - 2\,040\,000 = 460\,000\text{ Н} = 460\text{ кН}$.
**Ответ: 460 кН**.
6. Тело плавает, если $F_A \ge P$. Найдем максимальную силу Архимеда при полном погружении.
$V = 400\text{ см}^3 = 4 \cdot 10^{-4}\text{ м}^3$, $P = 4\text{ Н}$.
$F_{A\text{max}} = \rho_{\text{в}} g V = 1000 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 10^{-4} = 4\text{ Н}$.
Так как $F_{A\text{max}} = P$, тело будет плавать полностью погрузившись (в состоянии безразличного равновесия).
**Ответ: Не утонет**.
**III**
7. Вес системы: $P = (m_{\text{чел}} + m_{\text{пояс}}) g = (60 + 9) \cdot 10 = 690\text{ Н}$.
Выталкивающая сила (макс.): $F_A = \rho_{\text{в}} g V_{\text{пояс}} + \rho_{\text{в}} g V_{\text{чел}}$.
Даже без учета объема человека: $F_{A\text{ пояса}} = 1000 \cdot 10 \cdot 0,068 = 680\text{ Н}$.
Так как $680\text{ Н} < 690\text{ Н}$, пояса недостаточно для удержания веса человека и самого пояса над водой без учета объема тела человека. Однако, тело человека само вытесняет воду. Средняя плотность человека близка к плотности воды, поэтому с таким поясом человек точно будет держаться на плаву.
**Ответ: Может**.
8. Условие плавания: $\rho_{\text{жел}} V_{\text{тела}} = \rho_{\text{рт}} V_{\text{погр}}$.
$\frac{V_{\text{погр}}}{V_{\text{тела}}} = \frac{\rho_{\text{жел}}}{\rho_{\text{рт}}} = \frac{7800}{13600} \approx 0,57$.
**Ответ: Погружена примерно на 0,57 (или 57%) своего объема**.
9. Вес в воздухе $P = 3,6\text{ Н}$, вес в воде $P_1 = 2,8\text{ Н}$.
$F_A = P - P_1 = 3,6 - 2,8 = 0,8\text{ Н}$.
Объем шара: $V = \frac{F_A}{\rho_{\text{в}} g} = \frac{0,8}{1000 \cdot 10} = 8 \cdot 10^{-5}\text{ м}^3 = 80\text{ см}^3$.
Масса шара: $m = \frac{P}{g} = 0,36\text{ кг} = 360\text{ г}$.
Плотность материала шара: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{360}{80} = 4,5\text{ г/см}^3$.
Плотность цинка $\rho_{\text{цинк}} = 7,1\text{ г/см}^3$. Так как $\rho < \rho_{\text{цинк}}$, в шаре есть полость.
**Ответ: Имеет полость**.
