4.067 ABCD — ромб с углом 60°. Прямая MA перпендикулярна плоскости ромба, причем AB = AM = a. Найдите угол между плоскостями: а) AMB и ABC; б) AMB и AMD; в) MDC и ABC; г) MAD и MBC; д) найдите тот двугранный угол, образованный плоскостями MDC и BCM, который содержит точку А.

Пусть $ABCD$ — ромб со стороной $a$ и $\angle BAD = 60^{\circ}$. Тогда $\triangle ABD$ — равносторонний со стороной $a$, а диагональ $BD = a$. Высота ромба $h = a \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA = a$. a) Угол между $(AMB)$ и $(ABC)$. Плоскость $(AMB)$ содержит прямую $MA$, которая перпендикулярна $(ABC)$. Следовательно, плоскости перпендикулярны. **Ответ: $90^{\circ}$**. б) Угол между $(AMB)$ и $(AMD)$. Линия пересечения — $MA$. Т.к. $MA \perp (ABC)$, то углом между плоскостями будет $\angle BAD$ ромба. **Ответ: $60^{\circ}$**. в) Угол между $(MDC)$ и $(ABC)$. Проведем высоту $AH$ из $A$ к прямой $CD$. В ромбе $AH = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По теореме о трех перпендикулярах $MH \perp CD$. Искомый угол — $\angle MHA$. $\text{tg } \angle MHA = \frac{MA}{AH} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: $\text{arctg } \frac{2\sqrt{3}}{3}$**. г) Угол между $(MAD)$ и $(MBC)$. Линия пересечения параллельна $AD$ и $BC$. Так как $AD \parallel BC$, а $MA \perp AD$ и $MA \perp AB$, то искомый угол — это угол между высотами граней к линии пересечения. В силу симметрии и перпендикулярности $MA$, это угол между плоскостью $(MAD)$ и перпендикуляром к ней через $BC$. **Ответ: $90^{\circ}$**, так как $BC \perp (MAB)$, а $(MAD)$ параллельна этой линии в проекции. д) Двугранный угол между $(MDC)$ и $(BCM)$, содержащий точку $A$. **Ответ: $120^{\circ}$**.