Решите уравнение x^4 = (3x - 10)^2.

21. Решите уравнение $x^4 = (3x - 10)^2$. Перенесем всё в одну часть и разложим как разность квадратов: $(x^2)^2 - (3x - 10)^2 = 0$ $(x^2 - (3x - 10))(x^2 + (3x - 10)) = 0$ $(x^2 - 3x + 10)(x^2 + 3x - 10) = 0$ 1) $x^2 - 3x + 10 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$ $D < 0$, корней нет. 2) $x^2 + 3x - 10 = 0$ По теореме Виета: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases}$ $x_1 = -5, x_2 = 2$ **Ответ: -5; 2**. 22. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи ($x > 5$). Скорость по течению: $(x + 5)$ км/ч, время: $\frac{80}{x + 5}$ ч. Скорость против течения: $(x - 5)$ км/ч, время: $\frac{60}{x - 5}$ ч. Всего затрачено 10 часов: $\frac{80}{x + 5} + \frac{60}{x - 5} = 10$ $\frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1$ $8(x - 5) + 6(x + 5) = (x + 5)(x - 5)$ $8x - 40 + 6x + 30 = x^2 - 25$ $14x - 10 = x^2 - 25$ $x^2 - 14x - 15 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 15, x_2 = -1$ (не подходит). **Ответ: 15 км/ч**. 23. Построим график функции по частям. :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $y = m$ — горизонтальная линия. Она имеет с графиком ровно две общие точки, когда проходит через «изломы» графика или совпадает с одним из отрезков. 1) При $x = 2$: $y = 3(2) - 3 = 3$. 2) При $x = 3$: $y = 3,5(3) - 11 = 10,5 - 11 = -0,5$. Проверим участок $[-3x + 8,5]$ при $x \in [2; 3]$: при $x=2, y=2,5$; при $x=3, y=-0,5$. Анализируя стыки: в точке $(2; 3)$ разрыв. Ветви и отрезки дают 2 точки при $m = -0,5$ и $m = 3$. **Ответ: -0,5; 3**. 24. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $CH$ — высота. По свойству высоты прямоугольного треугольника: $AC^2 = AH \cdot AB$. $27^2 = 3 \cdot AB$ $729 = 3 \cdot AB$ $AB = 243$. **Ответ: 243**. 25. Пусть $h_1$ и $h_2$ — высоты $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ из вершины $O$. $\triangle AOB \sim \triangle COD$ по двум углам (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Площадь $\triangle ABD$ равна площади $\triangle ACD$ (общее основание $AD$ и одинаковая высота трапеции). $S_{AOB} = S_{ABD} - S_{AOD}$ $S_{COD} = S_{ACD} - S_{AOD}$ Так как $S_{ABD} = S_{ACD}$, то $S_{AOB} = S_{COD}$. Что и требовалось доказать. 26. Точка $M$ равноудалена от всех вершин, значит $M$ — центр описанной окружности около $ABCD$. Около четырехугольника можно описать окружность $\iff$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$. $\angle B + \angle D = 180^\circ \Rightarrow \angle D = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Так как $M$ — середина $AD$ и центр окружности, то $AD$ — диаметр. Значит, $\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ$. В $\triangle ABD$: $AB = AD \cos 85^\circ$. В $\triangle ACD$: $CD = AD \cos 65^\circ$. Используя теорему Птолемея или свойства вписанного четырехугольника, где $AD$ — диаметр: $BC = AD \sin(\angle A + \angle D - 90^\circ)$. $12 = AD \cdot \sin(85^\circ + 65^\circ - 90^\circ) = AD \cdot \sin 60^\circ$. $12 = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AD = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$. **Ответ: $8\sqrt{3}$**.