Проверочная работа на тему «Свойства прямоугольного треугольника» Вариант №4. 1. Найти ∠DCB. 2. Найти ∠B. 3. Найти AD. 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны 50° и 40°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

Проверочная работа по теме «Свойства прямоугольного треугольника» 1. На рисунке изображён прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠C = 90^∘$), $CD$ — высота. Угол $A$ равен $30^∘$, сторона $AB = 12$. Найдите $∠DCB$. В прямоугольном $┳ABC$: $∠B = 90^∘ - ∠A = 90^∘ - 30^∘ = 60^∘$. В прямоугольном $┳CDB$ ($∠CDB = 90^∘$): $∠DCB = 90^∘ - ∠B = 90^∘ - 60^∘ = 30^∘$. **Ответ: 30°**. 2. Дан прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠C = 90^∘$), $AD$ — биссектриса, $∠CAD = 20^∘$. Найдите $∠B$. Так как $AD$ — биссектриса, то $∠A = 2 ∙ ∠CAD = 2 ∙ 20^∘ = 40^∘$. В прямоугольном $┳ABC$: $∠B = 90^∘ - ∠A = 90^∘ - 40^∘ = 50^∘$. **Ответ: 50°**. 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$. Гипотенуза $AB = 20$, $∠A = 30^∘$. Найдите $AD$. В $┳ABC$ катет $BC$ лежит против угла $30^∘$, значит $BC = AB : 2 = 20 : 2 = 10$. В $┳ABC$ угол $∠B = 90^∘ - 30^∘ = 60^∘$. В прямоугольном $┳CDB$ угол $∠DCB = 90^∘ - 60^∘ = 30^∘$. Катет $DB$ лежит против угла $30^∘$, значит $DB = BC : 2 = 10 : 2 = 5$. Тогда $AD = AB - DB = 20 - 5 = 15$. **Ответ: 15**. 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны $50^∘$ и $40^∘$. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Пусть в $┳ABC$ ($∠C = 90^∘$) $∠A = 50^∘$, $∠B = 40^∘$. $CH$ — высота, $CM$ — медиана. 1) В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $CM = AM = MB$. Значит, $┳ACM$ — равнобедренный, $∠ACM = ∠A = 50^∘$. 2) В прямоугольном $┳ACH$ ($∠H = 90^∘$): $∠ACH = 90^∘ - ∠A = 90^∘ - 50^∘ = 40^∘$. 3) Угол между ними $∠HCM = ∠ACM - ∠ACH = 50^∘ - 40^∘ = 10^∘$. **Ответ: 10°**.