Основание прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ — равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = AC = 10$ см, $BC = 12$ см), а высота призмы равна 6 см. Найдите: а) площадь треугольника $A_1BC$; б) косинусы двугранных углов при боковых ребрах призмы; в) синус угла между прямой $A_1B$ и плоскостью $ACC_1$.

Введём обозначения: $ABCA_1B_1C_1$ — прямая призма. В основании лежит равнобедренный $\triangle ABC$: $AB = AC = 10$ см, $BC = 12$ см. Высота призмы $H = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 6$ см. а) Чтобы найти площадь $\triangle A_1BC$, проведём высоту $AD$ в основании к стороне $BC$. В равнобедренном треугольнике $AD$ также является медианой, значит, $BD = DC = 6$ см. По теореме Пифагора из $\triangle ABD$: $AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см. По теореме о трёх перпендикулярах $A_1D \perp BC$, так как $AD \perp BC$ и $AA_1 \perp (ABC)$. Из прямоугольного $\triangle A_1AD$: $A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ см. $S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1D = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60$ см$^2$. б) Двугранные углы при боковых рёбрах прямой призмы равны углам основания $\triangle ABC$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$. $12^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos A \Rightarrow 144 = 200 - 200 \cdot \cos A \Rightarrow 200 \cdot \cos A = 56 \Rightarrow \cos A = \frac{56}{200} = 0,28$. Для углов при ребрах $BB_1$ и $CC_1$: $\cos B = \cos C = \frac{BD}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. в) Искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $A_1B$ и плоскостью $ACC_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является основание высоты $BK$ треугольника $ABC$, проведённой к прямой $AC$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$. С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK \Rightarrow 48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BK \Rightarrow BK = 9,6$ см. Из прямоугольного $\triangle A_1AB$: $A_1B = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$ см. $\sin \alpha = \frac{BK}{A_1B} = \frac{9,6}{\sqrt{136}} = \frac{9,6}{2\sqrt{34}} = \frac{4,8}{\sqrt{34}} = \frac{4,8\sqrt{34}}{34} = \frac{12\sqrt{34}}{85} \approx 0,823$. **Ответ:** а) 60 см$^2$; б) 0,28; 0,6; 0,6; в) $\frac{12\sqrt{34}}{85}$.