Самостоятельная работа по теме Средние величины, Показатели вариации, Мода и медиана

Привет! Давай разберем эту самостоятельную работу. 1. **Средняя величина** — это обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень признака в совокупности, погашая случайные отклонения отдельных единиц. *Примеры:* средний балл аттестата, средняя зарплата в регионе, средний возраст учащихся в классе. 2. **Виды средних величин:** - *Средняя арифметическая* (простая и взвешенная) — для количественных данных. - *Средняя гармоническая* — когда веса (частоты) неизвестны, а известны произведения величины на частоту. - *Средняя геометрическая* — для анализа динамики (темпов роста). - *Средняя квадратическая* — для оценки вариации. - *Средняя хронологическая* — для моментных рядов динамики. 3. **Интервалы:** - *Границы открытого интервала:* У открытых интервалов одна граница не определена. Обычно ее находят, продлевая шаг интервала смежного с ним. - *Середина интервала:* Полусумма верхней и нижней границ: $x_i = (x_{min} + x_{max}) / 2$. - *Величина интервала:* Разность между верхней и нижней границей интервала ($h = x_{max} - x_{min}$). 4. **Мода и медиана:** - *Мода (Mo):* Значение, встречающееся чаще всего. В интервальном ряду рассчитывается по формуле интерполяции. - *Медиана (Me):* Значение, делящее ранжированный ряд пополам. - *Графики:* Для моды — гистограмма (наивысший прямоугольник), для медианы — кумулята (накопленные частоты). 5. **Показатели вариации:** - Размах вариации ($R$), среднее линейное отклонение, дисперсия ($\sigma^2$), среднее квадратическое отклонение ($\sigma$). - Нужны для оценки степени различия между значениями в совокупности. - *Коэффициент вариации ($V$):* Отношение $\sigma$ к средней арифметической (в процентах). Показывает однородность совокупности (если $V < 33\%$, совокупность однородна). 6. **Решение задачи:** Ряд: 4, 5, 3, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 3, 3, 3. Упорядочим: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 (всего 20). - *Средняя:* $\frac{(2\cdot3) + (3\cdot5) + (4\cdot7) + (5\cdot5)}{20} = \frac{6+15+28+25}{20} = \frac{74}{20} = 3,7$. - *Мода:* 4 (встречается 7 раз). - *Медиана:* Среднее между 10-м и 11-м элементом: $(4+4)/2 = 4$. - *Однородность:* Сначала найдем дисперсию: $\frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \frac{4\cdot3+9\cdot5+16\cdot7+25\cdot5}{20} - 3,7^2 = \frac{12+45+112+125}{20} - 13,69 = 14,7 - 13,69 = 1,01$. $\sigma = \sqrt{1,01} \approx 1,005$. $V = (1,005 / 3,7) \cdot 100\% \approx 27,16\%$. Так как $27,16\% < 33\%$, совокупность однородна.