В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12, один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найди площадь трапеции.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где: $a = 12$ — большее основание, $b = 8$ — меньшее основание, $h$ — высота трапеции. 1. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Так как трапеция равнобедренная, высоты отсекают на большем основании два равных прямоугольных треугольника. 2. Длина отрезка, который остается на большем основании между основаниями высот, равна меньшему основанию ($8$). 3. Оставшаяся часть большего основания делится пополам между двумя отрезками по краям: $(12 - 8) : 2 = 4 : 2 = 2$. 4. В полученных прямоугольных треугольниках один угол равен $45^\circ$, значит, второй острый угол тоже равен $45^\circ$ ($180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Треугольники равнобедренные, поэтому высота равна отрезку, который мы нашли: $h = 2$. 5. Теперь находим площадь: $S = \frac{12 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{20}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$. **Ответ: 20**