Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

### Решение задач **264** Пусть $AC$ — основание, $AB=BC$. Так как $\angle B = 120^\circ$, то $\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Высота $CH_1$ к боковой стороне $AB$ равна $9$ см. В прямоугольном треугольнике $ACH_1$ (где $\angle H_1 = 90^\circ$): $\sin(A) = CH_1 / AC$, откуда $AC = CH_1 / \sin(30^\circ) = 9 / 0,5 = 18$ см. **Ответ: 18 см.** **265** Пусть $BH$ — высота к основанию $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\sin(A) = BH / AB = 7,6 / 15,2 = 0,5$. Значит, $\angle A = 30^\circ$. Поскольку треугольник равнобедренный, $\angle C = 30^\circ$, тогда $\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. **Ответ: 30°, 30°, 120°.** **266** Пусть в $\triangle ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$. Рассмотрим $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$: у них общая сторона $AC$, $\angle A_1CA = \angle C_1AC$ (углы при основании равнобедренного треугольника), $\angle AA_1C = \angle CC_1A = 90^\circ$. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Значит, $AA_1 = CC_1$. **267** В $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$: $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$, $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (половины равных углов $B$ и $B_1$), $BD=B_1D_1$. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $AB=A_1B_1$. Тогда $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по стороне и прилежащим углам ($\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$). **268** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) высоты $BH_b$ и $CH_c$ пересекаются в ортоцентре $M$. Известно свойство: $\angle BMC = 180^\circ - \angle A$. Тогда $140^\circ = 180^\circ - \angle A$, откуда $\angle A = 40^\circ$. Углы при основании: $\angle B = \angle C = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. **Ответ: 40°, 70°, 70°.** **269** В $\triangle ABM$ (где $M$ — точка пересечения высот): $\angle MAB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ$. Аналогично $\angle MBA = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$. Тогда $\angle AMB = 180^\circ - (23^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$. **Ответ: 122°.** **270** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC$ — основание, $\angle B=112^\circ$): $\angle A = \angle C = (180^\circ - 112^\circ) / 2 = 34^\circ$. Биссектриса $AF$ делит угол $A$ пополам: $\angle CAF = 17^\circ$. Высота $AH$ к стороне $BC$ образует с $AC$ угол $\angle HAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$. Искомый угол $\angle AHF$ (между высотой и биссектрисой) равен разности этих углов: $56^\circ - 17^\circ = 39^\circ$. **Ответ: 39°.**