18. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

Дано: ABCD — параллелограмм, $\angle A = 60^\circ$. AM — биссектриса $\angle A$. $M \in BC$. $AM \perp DM$. $AB = 6$. Найти: $P_{ABCD}$. Решение: 1. Так как AM — биссектриса $\angle A$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. 2. В параллелограмме $AD \parallel BC$. Значит, $\angle MAD = \angle AMB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AM). Следовательно, $\angle AMB = 30^\circ$. 3. В треугольнике ABM: $\angle B = 180^\circ - (\angle BAM + \angle AMB) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. 4. В треугольнике ABM углы при основании AM равны по $30^\circ$ (так как $\angle BAM = 30^\circ$ и $\angle AMB = 30^\circ$), значит, треугольник ABM — равнобедренный с основанием AM, где $AB = BM = 6$. 5. В треугольнике AMD $\angle MAD = 30^\circ$. Так как $AM \perp DM$, то $\triangle AMD$ — прямоугольный ($\angle AMD = 90^\circ$). Тогда $\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 6. Используя тригонометрические функции в прямоугольном $\triangle AMD$: $AD = \frac{AM}{\cos(30^\circ)}$ — это сложно. Проще: $AM = AD \cdot \cos(30^\circ)$ — тоже сложно. В прямоугольном $\triangle AMD$: $\angle ADM = 60^\circ$, значит $\angle DAM = 30^\circ$ (мы это знали). Катет, лежащий против угла $30^\circ$ ($DM$), равен половине гипотенузы ($AD$), то есть $DM = 0,5 AD$. $AD = \frac{DM}{\sin(30^\circ)} = 2DM$. $AM = AD \cdot \cos(30^\circ) = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Но проще через соотношения: $AD = AM / \cos(30^\circ) = AM / (\sqrt{3}/2) = 2AM / \sqrt{3}$. Давайте найдем AM из $\triangle ABM$: по теореме косинусов или через высоту. В равнобедренном $\triangle ABM$ (где $AB=BM=6$, $\angle B = 120^\circ$) проведем высоту BH к AM. $AH = HM = AB \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Значит $AM = 6\sqrt{3}$. 7. Теперь в $\triangle AMD$: $AD = AM / \cos(30^\circ) = 6\sqrt{3} / (\sqrt{3}/2) = 6\sqrt{3} \cdot 2 / \sqrt{3} = 12$. 8. Периметр параллелограмма: $P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (6 + 12) = 2 \cdot 18 = 36$. Ответ: 36. :::div .chart-container @chart-1:::