Найти длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150 градусов.

1. Формула длины дуги: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$. Подставим: $L = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 150^\circ}{180^\circ} = \frac{450\pi}{180} = 2,5\pi$ см. 2. Формула: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$. Подставим: $5\pi = \frac{\pi \cdot 9 \cdot \alpha}{180^\circ}$. Сократим на $\pi$ и $9$: $5 = \frac{\alpha}{20} \Rightarrow \alpha = 100^\circ$. 3. Площадь кольца: $S = \pi (R^2 - r^2)$. Подставим: $S = \pi (5^2 - 3^2) = \pi (25 - 9) = 16\pi$ кв. ед. 4. Площадь сектора: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. Подставим: $S = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{36\pi \cdot 60}{360} = 6\pi$ кв. ед. 5. Формула: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. Подставим: $18\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 40^\circ}{360^\circ} \Rightarrow 18 = \frac{R^2}{9} \Rightarrow R^2 = 162 \Rightarrow R = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$ ед. 6. Радиус $r=4$. Угол $36^\circ$. Сектор 1: $S_1 = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 36}{360} = 1,6\pi$. Сектор 2 (остаток круга): $S_2 = \pi R^2 - S_1 = 16\pi - 1,6\pi = 14,4\pi$ кв. ед. 7. $\angle AOB = 50^\circ$. Дуга $\alpha = 50^\circ$. Длина $L_1 = 75$. Большая дуга $\alpha_2 = 360^\circ - 50^\circ = 310^\circ$. Пропорция: $\frac{75}{50} = \frac{L_2}{310} \Rightarrow L_2 = \frac{75 \cdot 310}{50} = 465$. 8. Длина $L = 2\pi R = 14 \Rightarrow R = \frac{7}{\pi}$. Площадь $S = \pi R^2 = \pi \cdot \frac{49}{\pi^2} = \frac{49}{\pi}$. В ответе указано $5/\pi$ (видимо, опечатка в условии, решено исходя из формулы). 9. $R=8$ (описанная окружность). Для правильного треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = 8\sqrt{3}$. а) $L = 2\pi R = 16\pi$. б) $P = 3a = 24\sqrt{3}$. в) $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$. 10. Площадь круга $S_k = \pi R^2$. Катеты $3$ и $4$, гипотенуза $c = \sqrt{3^2+4^2} = 5$. Радиус описанной окружности $R = c/2 = 2,5$. $S_{кр} = \pi (2,5)^2 = 6,25\pi$. Площадь треугольника $S_{тр} = 0,5 \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Площадь заштрихованной фигуры $S = 6,25\pi - 6$.